¿Es cierto que el producto de los lados de un triángulo rectángulo [con lados de longitud entera] es un múltiplo de 30? ¿Por qué o por qué no?

Answer 1

Como algunos otros han señalado, la afirmación solo puede ser posible si los lados [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son ​​todos integrales . Por lo tanto, suponemos que [math] a, b, c \ in \ mathbb N [/ math]. En ese caso, más es cierto; de hecho, [matemáticas] 60 \ mid abc [/ matemáticas].

Teorema. Todas las soluciones en enteros positivos para [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas] están dadas por [matemáticas] [/ matemáticas]

[matemáticas] a = k (r ^ 2-s ^ 2), b = 2krs, c = k (r ^ 2 + s ^ 2) [/ matemáticas],

donde [matemática] k, r, s \ en \ mathbb N [/ matemática], [matemática] r> s [/ matemática], [matemática] r + s [/ matemática] impar y [matemática] \ gcd (r, s) = 1 [/ matemáticas].

Probaré la afirmación más fuerte de que [matemáticas] 60 \ mid 2rs (r ^ 2-s ^ 2) (r ^ 2 + s ^ 2) [/ matemáticas], ya que [matemáticas] k \ in \ mathbb N [/ matemáticas] es arbitrario. Esto es lo mismo que mostrar que [matemáticas] f (r, s) = rs (r ^ 2-s ^ 2) (r ^ 2 + s ^ 2) [/ matemáticas] es un múltiplo de [matemáticas] 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 [/ matemáticas].

• Como [math] r + s [/ math] es impar , (exactamente) uno de [math] r [/ math], [math] s [/ math] es par , y entonces [math] 2 \ mid rs [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] 2 \ mid f (r, s) [/ matemática].
• Si [math] 3 \ mid r [/ math] o [math] 3 \ mid s [/ math], entonces [math] 3 \ mid rs [/ math], y por lo tanto también [math] 3 \ mid f (r , s) [/ matemáticas]. De lo contrario, [matemática] 3 \ mid (r ^ 2–1) [/ matemática] y [matemática] 3 \ mid (s ^ 2–1) [/ matemática] y, por lo tanto, [matemática] 3 \ mid (r ^ 2 -s ^ 2) [/ matemáticas]. Así [matemáticas] 3 \ mid f (r, s) [/ matemáticas].
• Si [math] 5 \ mid r [/ math] o [math] 5 \ mid s [/ math], entonces [math] 5 \ mid rs [/ math], y por lo tanto también [math] 5 \ mid f (r , s) [/ matemáticas]. De lo contrario, [matemáticas] 5 \ mid (r ^ 4–1) [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 \ mid (s ^ 4–1) [/ matemáticas] y, por lo tanto, [matemáticas] 5 \ mid (r ^ 4 -s ^ 4) [/ matemáticas]. Así [matemáticas] 5 \ mid f (r, s) [/ matemáticas].

Hemos utilizado el teorema de Fermat [math] “[/ math] little [math]” [/ math]: if [math] p [/ math] es primo y [math] p \ nmid n [/ math], entonces [matemática] p \ mid (n ^ {p-1} -1) [/ matemática] para los casos [matemática] p = 3 [/ matemática] y [matemática] p = 5 [/ matemática]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Muy pronto. Es cierto que el producto de los lados de un triángulo rectángulo con lados enteros es un múltiplo de 30. Esto parece bastante notable, así que veamos por qué.

Considere un triángulo rectángulo con longitudes laterales [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] para los lados adyacentes al ángulo recto, y [matemática] c [/ matemática] para la hipotenusa. Entonces [matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] (Pitágoras).

Lema 1: al menos uno de [matemática] a, b, c [/ matemática] es divisible por [matemática] 2 [/ matemática].

Lema 2: al menos uno de [matemáticas] a, b [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Lema 3: al menos uno de [matemática] a, b, c [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática].

Por lo tanto, el producto [math] abc [/ math] es divisible por [math] 2 [/ math] (por lema 1) y [math] 3 [/ math] (por lemma 2) y [math] 5 [/ math] (por el lema 3), por lo que es divisible por [matemáticas] 2 \ veces 3 \ veces 5 = 30 \ \ [/ matemáticas] QED

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Prueba de Lema 1 : al menos uno de [matemática] a, b, c [/ matemática] es divisible por [matemática] 2 [/ matemática]

Tenga en cuenta que [math] 0 ^ 2 \ equiv 0 \ bmod 2 [/ math] y [math] 1 ^ 2 \ equiv 1 \ bmod 2 [/ math], es decir, el cuadrado de un número par siempre es par, y el cuadrado de un número impar siempre es impar. Entonces, un número par que es un cuadrado debe ser el cuadrado de un número par, y un número impar que es un cuadrado debe ser el cuadrado de un número impar.

Si [math] a \ equiv 0 \ bmod 2 [/ math] o [math] b \ equiv 0 \ bmod 2 [/ math] entonces ya tenemos al menos uno de [math] a, b, c [/ math] divisible por [math] 2 [/ math], así que supongamos que [math] a \ equiv 1 \ bmod 2 [/ math] y [math] b \ equiv 1 \ bmod 2 [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto a ^ 2 \ equiv 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 2 \ equiv 1 \ mod 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto a ^ 2 + b ^ 2 \ equiv 0 \ mod 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto c ^ 2 \ equiv 0 \ mod 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto c \ equiv 0 \ mod 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] no son divisibles por [matemática] 2 [/ matemática] entonces [matemática] c [/ matemática] es divisible por [matemática] 2 [/ matemática], entonces al menos uno de [matemática] a, b, c [/ matemática] siempre es divisible por [matemática] 2 \ \ [/ matemática] QED

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Prueba de Lema 2 : al menos uno de [matemática] a, b [/ matemática] es divisible por [matemática] 3 [/ matemática]

Tenga en cuenta que [matemáticas] 0 ^ 2 \ equiv 0 \ bmod 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 ^ 2 \ equiv 1 \ bmod 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ 2 \ equiv 1 \ bmod 3 [/ matemáticas]. Por lo tanto, todos los cuadrados son congruentes con [math] 0 [/ math] o [math] 1 \ bmod 3 [/ math].

Si [math] a \ equiv 0 \ bmod 3 [/ math] o [math] b \ equiv 0 \ bmod 3 [/ math] entonces ya tenemos al menos uno de [math] a, b [/ math] divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas], así que supongamos que [matemáticas] a \ equiv 1 \ text {o} 2 \ bmod 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] b \ equiv 1 \ text {o} 2 \ bmod 3 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ por lo tanto a ^ 2 \ equiv 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 2 \ equiv 1 \ mod 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto a ^ 2 + b ^ 2 \ equiv 2 \ mod 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto c ^ 2 \ equiv 2 \ mod 3 [/ matemáticas]

Pero ya hemos notado que todos los cuadrados son congruentes con [matemática] 0 [/ matemática] o [matemática] 1 \ bmod 3 [/ matemática], por lo que este resultado es imposible, por lo que al menos uno de [matemática] a, b [/ math] siempre es divisible por [math] 3 \ \ [/ math] QED

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Prueba de Lema 3 : al menos uno de [matemática] a, b, c [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática]

Tenga en cuenta que [matemáticas] 0 ^ 2 \ equiv 0 \ bmod 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 ^ 2 \ equiv 1 \ bmod 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ 2 \ equiv 4 \ bmod 5 [/ matemática] y [matemática] 3 ^ 2 \ equiv 4 \ bmod 5 [/ matemática] y [matemática] 4 ^ 2 \ equiv 1 \ bmod 5 [/ matemática]. Por lo tanto, todos los cuadrados son congruentes con [matemática] 0 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática] o [matemática] 4 \ bmod 5 [/ matemática].

Si [math] a \ equiv 0 \ bmod 5 [/ math] o [math] b \ equiv 0 \ bmod 5 [/ math] ya tenemos al menos uno de [math] a, b, c [/ math] divisible por [matemática] 5 [/ matemática], entonces supongamos que [matemática] a \ equiv 1, 2, 3 \ text {o} 4 \ bmod 5 [/ matemática] y [matemática] b \ equiv 1, 2 , 3 \ text {o} 4 \ bmod 5 [/ math].

[matemática] \ por lo tanto a ^ 2 \ equiv 1 \ text {o} 4 [/ matemática] y [matemática] b ^ 2 \ equiv 1 \ text {o} 4 \ mod 5 [/ matemática]

Si [matemática] a ^ 2 \ equiv 1 [/ matemática] y [matemática] b ^ 2 \ equiv 1 [/ matemática] entonces [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 \ equiv 2 \ bmod 5 [/ matemática].

Si [matemática] a ^ 2 \ equiv 4 [/ matemática] y [matemática] b ^ 2 \ equiv 4 [/ matemática] entonces [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 \ equiv 3 \ bmod 5 [/ matemática].

Si [matemáticas] a ^ 2 \ equiv 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 2 \ equiv 4 [/ matemáticas] o si [matemáticas] a ^ 2 \ equiv 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 2 \ equiv 1 [/ math] luego [math] a ^ 2 + b ^ 2 \ equiv 0 \ bmod 5 [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto a ^ 2 + b ^ 2 \ equiv 2 \ text {o} 3 \ text {o} 0 \ mod 5 [/ math]

[matemática] \ por lo tanto c ^ 2 \ equiv 2 \ text {o} 3 \ text {or} 0 \ mod 5 [/ math]

Pero ya hemos visto que todos los cuadrados son congruentes con [math] 0 [/ math] o [math] 1 [/ math] o [math] 4 \ bmod 5 [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto c ^ 2 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto c \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemática]

Por lo tanto, si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] no son divisibles por [matemática] 5 [/ matemática] entonces [matemática] c [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática], entonces al menos uno de [matemática] a, b, c [/ matemática] siempre es divisible por [matemática] 5 \ \ [/ matemática] QED

Answer 3

No estabas prestando toda la atención cuando escuchaste esto.

Sí, es cierto, ¡pero solo bajo la condición de que todos los lados también deben tener longitudes enteras!

En cuanto al por qué:

Es bien sabido que la solución más pequeña para el triángulo rectángulo entero es un triángulo de 3,4,5 lados. (recuerde a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 para un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras). Por lo tanto, todos los múltiplos enteros del triángulo rectángulo 3,4,5 también son triángulos rectángulos. Entonces, cualquier triángulo de la forma nx3, nx4, nx5 será un triángulo rectángulo y dado que los productos de enteros también son enteros, serán longitudes enteras.

Entonces todos los triángulos rectángulos 3,4,5 de factor de escala n tendrán un producto de 60 n ^ 3, para el cual 30 será un factor ya que 2 x 30 = 60.

Lo importante es que tienen que ser enteros.

Answer 4

Claramente, esto es evidentemente falso si los lados no están obligados a ser integrales (considerando el clásico triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa de longitud 2, el producto de sus lados es 4). Si los lados son todos integrales, debemos demostrar que a, b o c es divisible por 2 y de manera similar uno de estos tres es divisible por 3 y lo mismo para 5 también. Claramente, uno de estos valores debe ser par (por contradicción, esto se sigue inmediatamente ya que el cuadrado de los números impares es impar, por lo tanto, obtienes a ^ 2 y b ^ 2 para que sean impares, por lo tanto, la suma es par, pero la raíz cuadrada de un número par no puede ser extraño pero asumimos que c era extraño). Ahora, mostrar divisibilidad por 3 también es bastante fácil usando mod 3 (que es implícitamente lo que hice para la divisibilidad por 2, pero tenemos buenas palabras para denotar paridad). Si suponemos que ninguno de a, b o c es 0 mod 3, entonces a y b son 1 o -1 mod 3, por lo tanto a ^ 2 y b ^ 2 son ambos 1 mod 3 y la suma es 2 mod 3 Sin embargo, esto no es alcanzable como el cuadrado de cualquier elemento mod 3 (obviamente podemos aplicar fuerza bruta al observar lo que sucede con 0 1 y 2 mod 3). Por lo tanto, uno de ellos debe ser divisible por 3 y de manera similar podemos hacer esto por 5.