¿Cómo verifico mediante cálculo que la coordenada x de P se encuentra entre 1.4 y 1.6 si una curva con una ecuación de y = 6 / x ^ 2 se cruza con la línea y = x + 1 en el punto P?

Answer 1

Otro método que se aplica aquí es el teorema del valor intermedio.

Para la intersección de [matemáticas] y = \ frac {6} {x ^ 2} [/ matemáticas] y [matemáticas] y = x + 1 [/ matemáticas], podemos escribir la coordenada [matemáticas] x [/ matemáticas] con esta ecuación:

[matemáticas] \ dfrac {6} {x ^ 2} = x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 = x ^ 2 (x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 = x ^ 3 + x ^ 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, estamos buscando demostrar que esto tiene una solución entre 1.4 y 1.6:

[matemáticas] x ^ 3 + x ^ 2 – 6 = 0 [/ matemáticas]

Definiré [matemáticas] f (x) = x ^ 3 + x ^ 2 – 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (1.4) = (1.4) ^ 3 + (1.4) ^ 2 – 6 = -1.296 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (1.6) = (1.6) ^ 3 + (1.6) ^ 2 – 6 = 0.656 [/ matemáticas]

Por el teorema del valor intermedio, ya que la función [matemática] f (x) [/ matemática] es continua y contiene los puntos [matemática] (1.4, -1.296) [/ matemática] y [matemática] (1.6,0.656) [/ math], debe tomar el valor de 0 en algún lugar entre esos 2 valores [math] x [/ math]. Esa es la coordenada x de la intersección, porque hicimos esa función al establecer las coordenadas y iguales.

Answer 2

La curva [matemática] y = \ frac {6} {x ^ 2} [/ matemática] se cruza con la línea [matemática] y = x + 1. [/ Matemática]

El punto de intersección de esta curva y esta línea debe satisfacer la ecuación de la curva, así como la ecuación de la línea. Entonces, para determinar el punto de intersección, necesitamos resolver estas dos ecuaciones simultáneas. Entonces, tenemos,

[matemáticas] y = \ frac {6} {x ^ 2} = x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad x ^ 3 + x ^ 2 – 6 = 0 [/ matemáticas]

Si bien esta ecuación cúbica se puede resolver mediante el método de Cardono para obtener la raíz real, sería mucho más fácil obtener la solución mediante métodos numéricos.

Usando el método de Newton-Raphson, podemos resolver esta ecuación de la siguiente manera:

Deje [math] f (x) = x ^ 3 + x ^ 2 – 6. [/ math] Queremos que el valor de f (x) sea 0.

Entonces, [matemáticas] f ‘(x) = 3x ^ 2 + 2x. [/ Matemáticas]

Deje que la primera estimación de x sea [matemática] x_1. [/ Matemática]

Entonces, la segunda y mejor estimación sería [matemáticas] x_2 = x_1 – \ frac {f (x_1)} {f ‘(x_1)} [/ matemáticas]

La tercera y mejor estimación sería [matemáticas] x_3 = x_2 – \ frac {f (x_2)} {f ‘(x_2)} [/ matemáticas]

Continuamos de esta manera hasta que la diferencia entre dos estimaciones sucesivas sea menor que el error tolerable.

Para este caso particular, tomando la primera estimación [matemática] x_1 = 1, [/ matemática] los detalles de las iteraciones son los siguientes:

Entonces, obtenemos la solución como [math] x = 1.537656172. [/ Math]

Answer 3

Como usted dice, sea 1.4–1.6. Puedo concluir que quieres una respuesta estrictamente real .

Simplemente puede hacerlo resolviendo las dos ecuaciones en forma simultánea.

O, como veo, la fórmula cúbica también debería funcionar.