Primero, una explicación sobre las etiquetas en el diagrama.
[matemática] EC = \ tan (X + Y) \ tan Y [/ matemática] porque en [matemática] \ Delta CEF, [/ matemática] [matemática] \ tan (X + Y) = \ frac {{CF}} {{EF}} = \ frac {{CF}} {{\ tan Y}} [/ math].
Ahora [matemática] \ Delta ABE \ sim \ Delta BCD [/ matemática], entonces [matemática] \ frac {{DE}} {{AE}} = \ frac {{BD}} {{BC}}, [/ matemática ] o [matemáticas] \ tan X = \ frac {{DE}} {{BD}} = \ frac {{AE}} {{BC}} [/ matemáticas].
Pero esto es [matemáticas] \ frac {{\ tan (X + Y) – \ tan Y}} {{1 + \ tan (X + Y) \ tan Y}} [/ matemáticas].
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Entonces [matemáticas] \ tan X = \ frac {{\ tan (X + Y) – \ tan Y}} {{1 + \ tan (X + Y) \ tan Y}} [/ matemáticas]
Al aislar [matemáticas] \ tan (X + Y) [/ matemáticas], obtenemos
[matemáticas] \ tan X + \ tan X \ tan Y \ tan (X + Y) = \ tan (X + Y) – \ tan Y [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow \ tan (X + Y) (\ tan X \ tan Y – 1) = – \ tan Y – \ tan X [/ matemática]
[matemática] \ Rightarrow \ tan (X + Y) = \ frac {{\ tan X \ tan Y}} {{1 – \ tan X \ tan Y}} [/ matemática]
