¿Qué es una interpretación geométrica de la doble integración?

Answer 1

La integración ordinaria, como [math] \ displaystyle \ int_a ^ bf (x) \, dx [/ math], le da el área debajo de la curva [math] y = f (x) [/ math], arriba del eje x , y entre las líneas [matemáticas] x = a [/ matemáticas] y [matemáticas] x = b [/ matemáticas]. Es entonces cuando [math] f [/ math] es una función positiva. Cuando [math] f [/ math] también toma valores negativos, entonces obtienes un área firmada.

La integración doble, como [math] \ displaystyle \ int_a ^ b \ int_c ^ df (x, y) \, dy \, dx [/ math] le da el volumen debajo de la superficie [math] z = f (x, y) [/ math], arriba del plano xy , y arriba de la región descrita por los límites de integración. Para los límites mencionados, esa región es el rectángulo que consta de puntos [matemática] (x, y) [/ matemática] para la cual [matemática] a \ leq x \ leq b [/ matemática] y [matemática] c \ leq y \ leq d [/ matemáticas].

Answer 2

“Volumen 3d debajo de una superficie”. Esa es la interpretación geométrica. Mire la siguiente figura de una superficie arbitraria representada por la función [matemáticas] z = f (x, y) [/ matemáticas].

Cuando se utiliza la integral doble sobre una región (dominio), se suman infinitos elementos que tienen una altura de [math] z [/ math] y un área base [math] dA = dx.dy [/ math]

Answer 3

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre el gráfico de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función (en el plano cartesiano tridimensional) y el plano que contiene su dominio. Si hay más variables, una integral múltiple producirá hipervolúmenes de funciones multidimensionales.

Estas integrales dobles se denominan integrales de volumen