¿Se puede construir un triángulo con ángulos 72, 63 y 45 de modo que la suma de las longitudes de los lados = 180, si no exactamente, entonces a una buena aproximación?

Answer 1

Jacob Wigfield proporcionó un procedimiento maravilloso que proporcionaría una solución altamente precisa para un triángulo que tenga ángulos arbitrarios. Pero un verdadero devoto de proporciones pentagonales reconocería que los senos de ángulos de 72, 63 y 45 grados se pueden representar exactamente como expresiones radicales. Por supuesto, no hay realmente ninguna razón para derivar expresiones exactas para los lados del triángulo, a menos que uno tenga un poco de fetiche radical. Pero el proponente pidió una respuesta exacta, si es posible. Así que aquí va …

El pecado (45 °) es fácil. Sin (72 °) es más difícil, pero podemos resolverlo mediante una geometría inteligente o técnicas trigonométricas más sofisticadas (por ejemplo, ver Trigonometría / El seno de 18 grados). Sin (63 °) se deduce de la fórmula de diferencia de ángulo. Esto produce (perdón por pegar en los archivos de ecuaciones; sé que el editor de ecuaciones de Microsoft va y viene, pero no sé nada sobre LaTeX):

Jacob realiza las siguientes sustituciones (que adoptaré) y deriva las longitudes (x, y, z) de los tres lados como la solución a una ecuación matricial de la siguiente manera:

A través de tediosas pero sencillas operaciones de filas elementales, podemos encontrar la matriz inversa y la solución de matriz asociada como:

Ahora se vuelve útil sustituir los denominadores de (a, b, c):

Con estas sustituciones, la solución matricial se simplifica a:

Rendimiento de sustitución:

Después de un álgebra más tediosa, queda claro (pero lejos de ser inmediatamente obvio) que para poner esta ecuación en forma regular, podemos multiplicar el numerador y el denominador por:

Multiplicar y simplificar produce el resultado final en forma normal:

Evalué las expresiones resultantes, y producen los mismos resultados que Jacob y otros han obtenido, a cualquier número de dígitos significativos.

Answer 2

Usa la ley de los senos. x / sin (72) = y / sin (63) = z / sin (45). Donde x, y, z son longitudes laterales de los lados opuestos al ángulo dado. También llame a a = 1 / sin (72) b = 1 / sin (63) c = 1 / sin (45).

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y + z = 180

ax-by = 0

by-cz = 0

Esto nos da la matriz [{1,1,1}, {a, -b, 0}, {0, b, -c}]

a = 1.05 b = 1.12 c = 1.41

Cuál es la matriz A = [{1,1,1}, {1.05, -1.12,0}, {0,1.12, -1.41}] sea B = [{180, 0 0}]

Entonces queremos saber si la ecuación Ax = B tiene una solución.

El determinante de esta matriz es 4.236, por lo que tendrá una solución única.

Matlab muestra que es x = [67.1, 62.9, 50] redondeado a un decimal.

Ahora, hay un pequeño problema aquí con los números que no cumplen con la Ley de los senos, pero eso se debe a que redondeé muchas veces. Debe ser más exhaustivo si la precisión es importante para usted.

Answer 3

Supongamos que nuestro triángulo tiene lados [matemática] a, b, c [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemática] es opuesta al ángulo de grado 72, [matemática] b [/ matemática] es opuesta al ángulo de grado 63, y [matemáticas] c [/ matemáticas] es opuesto al ángulo de 45. Entonces podemos resolver esto usando la ley senoidal (Ley de los senos – Wikipedia):

[matemáticas] \ frac {a} {\ sin 72} = \ frac {b} {\ sin 63} = \ frac {c} {\ sin 45} [/ matemáticas]

Resuelva estas ecuaciones para obtener [math] b = \ frac {a \ sin 63} {\ sin 72} [/ math] y [math] c = \ frac {a \ sin 45} {\ sin 72} [/ math]

La suma de las longitudes laterales es

[matemáticas] \ begin {align *} 180 & = a + b + c \\ & = a (1 + \ frac {\ sin 63} {\ sin 72} + \ frac {\ sin 45} {\ sin 72} ) \ end {align *} [/ math]

Entonces [math] a [/ math] tiene una longitud de aproximadamente [math] 67.155 [/ math]. Conectamos este valor de [matemáticas] a [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas], y obtener [matemáticas] b = 62.915 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 49.929 [/ matemáticas]. Por supuesto, la suma de los lados no es exactamente 180, pero eso se debe a que estoy aproximando a.

Answer 4

Use la regla del seno de una manera obvia. Alrededor de 67.2, 62.9 y 49.9.

Perímetro = 67.2 + 62.9 + 49.9 = 180

Por lo tanto, se puede construir un traingle escaleno utilizando la información dada.

Answer 5

Si y exactamente. Solo hay realmente un ‘triángulo’ con esos ángulos, y su imagen especular. Eso es porque en un plano plano los triángulos con los mismos ángulos son similares, lo que significa que puedes escalarlos en tamaño para que coincidan entre sí. ¡Dibuja ese triángulo muy pequeño y luego escala hasta que la suma de sus lados sea exactamente 180!

Un buen comienzo para determinar cuáles podrían ser esas longitudes es la ley de los senos y la ley de los cosenos.

Answer 6

Deje que los lados sean x, y y z.

x / sin 72 = y / sin 63 = z / sin 45 = k… (1)

x + y + z = 180… (2)

(1) se puede escribir como

x / 0.951056516 = y / 0.891006524 = z / 0.707106781 = k, o

x = 0.951056516 k

y = 0.891006524 k

z = 0.707106781 k. próximo

0.951056516 k + 0.891006524 k + 0.707106781 k = 180, o

2.549169822 k = 180, o

k = 180 / 2.549169822 = 70.61122349.

Entonces los tres lados son

x = 67.15526423 unidades

y = 62.91506081 unidades

z = 49.92967496 unidades

El perímetro = x + y + z = 67.15526423 + 62.91506081 + 49.92967496 = 180. Correcto.

Answer 7

Use TrianCal

Answer 8

Aquí hay un método pero sin conclusión. Deje que un lado, digamos que el opuesto 72 sea de longitud 1. Luego, la ley sinusoidal dará los otros dos lados. Súmelos y espere que la suma sea 180. Maldición. No todo está perdido. Determine el valor de 180 dividir por la suma. Luego multiplica cada lado que encontraste por ese valor.

Answer 9

La respuesta rápida es no, porque 72 + 63 + 45 es 175, no 180. Haciéndolo imposible,

Answer 10

Use la regla del seno de una manera obvia. Alrededor de 67.2, 62.9 y 49.9