Un cono circular derecho tiene un radio base de 1 y una altura de 3. Se inscribe un cubo en el cono de modo que una cara del cubo esté contenida en la base del cono. ¿Cuál es la longitud de un borde del cubo?

Answer 1

Ni siquiera intentaré dibujar esto, así que intente leer lo siguiente.

Deje que el borde del cubo sea [matemática] e [/ matemática]. La distancia desde la parte superior del cubo hasta la parte superior del cono es [matemática] 3-e. [/ Matemática] Esa misma cara superior está inscrita en un círculo paralelo a la base del cono. El diámetro de ese círculo es la diagonal del cuadrado que es la cara superior del cubo. Como el borde de ese cuadrado es [math] e [/ math], su diagonal es [math] e \ sqrt {2}. [/ Math]

Ahora, la relación del diámetro de ese mismo círculo con el de la base del cono es [matemática] \ dfrac {e \ sqrt {2}} {2}. [/ Matemática] Pero esa debe ser la misma proporción que la de la distancia desde la cara superior del cubo hasta la parte superior del cono hasta la altura del cono que es, [matemáticas] \ dfrac {3-e} {3}. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ dfrac {e \ sqrt {2}} {2} = \ dfrac {3-e} {3}. [/ Math]

Multiplicación cruzada, [matemáticas] 3e \ sqrt {2} = 2 (3-e) = 6-2e [/ matemáticas].

[matemáticas] (3 \ sqrt {2} +2) e = 6 \ Rightarrow e = \ dfrac {6} {2 + 3 \ sqrt {2}} = \ dfrac {9 \ sqrt {2} –6} {7 }[/matemáticas]

Answer 2

6/5

Dibuja una rebanada vertical del cono desde su vértice (que es un triángulo). Inscriba un cuadrado en este triángulo de modo que su base coincida con la base del triángulo. Deje x ser la longitud del cuadrado. Desde el ápice hasta la parte superior del cuadrado tiene una longitud de 3 x. Usando triángulos similares realizamos lo siguiente como se muestra a continuación:

El volumen del cono es 1/3 Área base x altura que es 1/3 pi x 3 = pi. El volumen del cubo es 216/125, ciertamente menor que pi.

Answer 3

Hubiera pensado que más de uno de cada tres respondedores lo haría bien.

Como él dijo, debes seccionar el cubo a lo largo de su diagonal, así que dibujas un rectángulo (no un cuadrado) dentro del triángulo y luego haces los triángulos similares.

Answer 4

Corte todo con un plano de modo que dos bordes verticales diagonalmente opuestos del cubo estén contenidos dentro del plano. La diagonal del cubo es igual a sqrt (2) veces la longitud del borde. Solo necesitamos mirar la mitad de la imagen.

Use los principios de triángulos similares, así como la relación mencionada anteriormente.

Editar: las últimas cuatro líneas son incorrectas. I = 3 / (3 / sqrt (2) +1)