¿Cómo definimos pi?

Answer 1

Considere la ecuación diferencial

[matemáticas] y ” + y = 0. [/ matemáticas]

Todas las soluciones son periódicas con el mismo período T. Ahora defina pi = T / 2. ¡Hecho!

Esta definición se basa únicamente en el cálculo. No se menciona la geometría ni las funciones trigonométricas.

EDITAR: Para calcular realmente el período T, podemos multiplicar la ecuación diferencial por y ‘e integrar una vez. Esto da:

[matemáticas] (y ‘) ^ 2 + y ^ 2 = C ^ 2 [/ matemáticas]

para alguna constante C. Esto muestra que las soluciones están limitadas dentro de

[matemáticas] -C \ le y \ le C [/ matemáticas].

Separar variables da

[matemáticas] t = \ int \ frac {dy} {\ sqrt {C ^ 2-y ^ 2}} [/ matemáticas]

El medio período (que es pi) se puede calcular como:

[matemáticas] \ frac {T} {2} = \ int _ {- C} ^ C \ frac {dy} {\ sqrt {C ^ 2-y ^ 2}} [/ matemáticas]

Resulta, por la sustitución [matemática] y = Cx [/ matemática], que el lado derecho es independiente de C. Por lo tanto, finalmente llegamos a:

[matemáticas] \ pi = \ int _ {- 1} ^ 1 \ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ 2}} [/ matemáticas]

Nuevamente, este resultado es independiente de las funciones geométricas y trigonemétricas. Está puramente basado en cálculo. La integral particular es impropia (porque el integrando no está definido en [math] x = \ pm 1 [/ math]). Sin embargo, este no es un problema teórico, solo un desafío cuando durante los cálculos numéricos.

Es posible evaluar la integral utilizando la sustitución trigonométrica

[matemáticas] x = \ sin (t) [/ matemáticas], y toda la ecuación se reduce a:

[matemáticas] \ pi = \ arcsin (1) – \ arcsin (-1) [/ matemáticas]

Pero esta última ecuación es mucho menos útil, porque se basa en la definición de las funciones trigonométricas.

Answer 2

Me gusta la definición tomada de Rudin. Después de definir la función exponencial [math] \ exp (z) [/ math], define el coseno y las funciones seno como [math] \ cos x = \ dfrac {\ exp (ix) + \ exp (-ix)} {2} [/ matemática] y [matemática] \ sen x = \ dfrac {\ exp (ix) – \ exp (-ix)} {2i} [/ matemática]. Luego, define [math] \ pi [/ math] como el doble del número positivo más pequeño que satisface la ecuación [math] \ cos x = 0 [/ math]. A partir de aquí, demuestra que [math] \ exp (z) [/ math] es periódico con el período [math] 2 \ pi i [/ math].

Answer 3

“Pi” es un número irracional y una constante matemática muy importante y bien conocido, y ha sido representado por la letra griega π desde mediados del siglo XVIII. Es un número irracional porque no puede expresarse en la forma fraccionaria de a / b, donde a y b son enteros yb no es cero, y su representación decimal no se repite ni termina. Una representación decimal parcial de π a diez decimales es 3.1415926535….

“Pi” o “π” se utiliza en asociación con círculos, y se define como la relación o el cociente de la circunferencia C (la distancia alrededor de un círculo) dividido por el diámetro d (la distancia a través de un círculo a través del centro de el círculo), es decir, π = C / do π = C / 2r , donde r es el radio del círculo.

Answer 4

Oye, Pi o π es en realidad una constante que es la razón de la CIRCUNFERENCIA Y DIÁMETRO para un círculo dado.

Para cada círculo que se puede crear con cualquier radio, esta relación siempre permanece MISMA.

π = circunferencia / diámetro (para un círculo dado)

π también es un no irracional. , es decir, no tiene fin a su valor después del decimal.

Answer 5

[math] \ pi [/ math] se puede definir de dos maneras

1. La razón del área de un círculo al área del cuadrado en su radio
2. La relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.

Que la proporción en (1) fue la misma para todos los círculos es Elementos de Euclides, Libro XII, Proposición 2.

Que (1) y (2) son la misma razón es la primera proposición en la Medición de un círculo de Arquímedes.

Answer 6

Por cálculo, la longitud del medio perímetro de un círculo unitario [matemática] \ | (x, y) \ | = 1 [/ matemática] viene dada por

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 \ sqrt {1 + y ‘^ 2} dx = \ int _ {- 1} ^ 1 \ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ 2}} = 2 \ arcsin 1 [/ math].

Esto establece un vínculo entre la geometría y la trigonometría analítica a través de la distancia euclidiana.

Answer 7

Pi se define como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. El valor aproximado de ps es 22/7, o el más preciso, 3.1415926536 aproximadamente. Pi es un número irracional; Pi es un número trascendental.

Answer 8

Esto es menos una forma de definir [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] que una forma de calcularlo, pero:

[matemáticas] 4 \ veces (\ frac {1} {1} – \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} – \ frac {1} {7} + \ frac {1} {9 }…)[/matemáticas]