¿Cuál es la ecuación diferencial de círculos tangentes al eje x?

Answer 1

Deje que [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas] sea el centro del círculo. Dado que el círculo toca el eje x r = \ pm b dependiendo de si b es positivo o negativo.

La ecuación del círculo se puede representar como (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2) = b ^ 2 o

[matemáticas] (xa) ^ 2 + y ^ 2–2by = 0 …… (1) [/ matemáticas]

Ahora tenemos que eliminar las constantes arbitrarias a y b y será una ecuación diferencial de segundo orden.

Diferenciando wrt x

[matemáticas] 2 (xa) +2 (yb) y ‘= 0 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] xa = – (yb) y ‘……… (2) [/ matemáticas]

Sustituyendo en (1)

[matemáticas] (yb) ^ 2y ‘^ 2 + y ^ 2–2by = 0 …… (3) [/ matemáticas]

De nuevo diferenciando wrt x

2 [matemáticas] (yb) y ‘^ 3 + 2 (yb) ^ 2y’y’ ‘+ 2 (yb) y’ = 0 [/ matemáticas]

[matemática] es decir y ‘^ 2 + (yb) y’ ‘+ 1 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] es decir (yb) y ” = – 1-y ‘^ 2 …… (4) [/ matemáticas]

Multiplicar [matemática] (3) [/ matemática] por [matemática] y ” ^ 2 [/ matemática] y refundir términos,

[matemáticas] (yb) ^ 2y ” ^ 2y ‘^ 2 + 2 (y – b) y’ ‘^ 2y-y ^ 2y’ ‘^ 2 = 0 …… (5) [/ matemáticas]

Sustituyendo de [matemáticas] (4) [/ matemáticas] en [matemáticas] (5) [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + y ‘^ 2) ^ 2y’ ^ 2–2y (1 + y ‘^ 2) y’ ‘- y ^ 2y’ ‘^ 2 = 0… (.6) [/ matemáticas]

O

[matemáticas] \ boxed {y ^ 2y ” ^ 2 + 2y (1 + y ‘^ 2) y’ ‘- (1 + y’ ^ 2) ^ 2y ‘^ 2 = 0} [/ math]

Usé la notación anterior para facilitar la escritura, pero si uno quiere explícitamente

[matemáticas] \ boxed {y ^ 2 \ left (\ dfrac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} \ right) ^ 2 + 2y \ left (1+ \ left (\ dfrac {dy} {dx} \ right ) ^ 2 \ right) \ dfrac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} – \ left (1+ \ left (\ dfrac {dy} {dx} \ right) ^ 2 \ right) ^ 2 \ left (\ dfrac {dy} {dx} \ right) ^ 2 = 0} [/ math]

Answer 2

OKAY. Queremos la ecuación diferencial cuyo conjunto de soluciones es precisamente el conjunto de círculos tangentes al eje x. Como veremos, en realidad es un problema de valor inicial.

Comience con su ecuación rectangular ordinaria (x – a) ^ 2 + (y – b) ^ 2 = b ^ 2.

Tenga en cuenta que esto no es un error. Normalmente vería el radio al cuadrado a la derecha, pero el radio es igual a la coordenada y del centro, o b. Esta es precisamente la condición para la tangencia.

[Ahora, la ecuación diferencial que obtenemos será la misma que para todos los demás círculos en el plano centrado en (a, b). ¡La diferencia está en la condición inicial!]

Diferenciar la ecuación rectangular implícitamente para obtener

2 * (x – a) + 2 * (y – b) * dy / dx = 0. Resolver para dy / dx para obtener

dy / dx = (a – x) / (y – b). Como ya dije, esto es más cierto en general, pero la condición de tangencia convierte el problema en un problema de valor inicial: para la función de semicírculo que toca el eje x =, agregamos la condición y (a) = 0. Si desea otro semicírculo, agregue la condición y (a) = 2b en su lugar.