* A2A
Teorema de congruencia lineal:
La ecuación lineal de Diophantine [matemáticas] ax + by = c \ tag * {} [/ matemáticas] implica las dos ecuaciones de congruencia [matemáticas] \ boxed {ax \ equiv c (\ text {mod} b)} \ text {y} \ boxed {by \ equiv c (\ text {mod} a)} \ tag * {} [/ math]
y solo es solucionable iff [math] \ text {gcd} (a, b) \ mid c \ tag * {} [/ math]
- ¿Es cierto que el producto de los lados de un triángulo rectángulo [con lados de longitud entera] es un múltiplo de 30? ¿Por qué o por qué no?
- ¿Cuál es el resto de 34 ^ 31 ^ 301/9?
- ¿Cómo encuentro el valor de n en n log n = 10 ^ 6?
- Si [math] a ^ {b} = 2 ^ {120} [/ math] donde a y b son enteros positivos, entonces ¿cuál es el menor valor de [math] a + b [/ math]?
- Si a, byc son números primos superiores a 3, entonces, ¿cómo puedo probar que (ab) (bc) (ca) se puede dividir entre 48?
[matemáticas] \ begin {align} \ text {Applying} & \ text {Euclidean Algorithm} \\ 11 & = 3 \ times3 + 2 \\ 3 & = 2 \ times1 + \ boxed 1 \\\ text {Since} 1 \ mid1000 & \ text {existen soluciones enteras para} \\ & \ boxed {11x + 3y = 1000} \\\ text {Aplicando} & \ text {Algoritmo euclidiano extendido} \\ 1 & = 3-2 \ times1 \\ 1 & = 3- (11-3 \ times 3) \\ 1 & = 3 \ times1-11 + 3 \ times3 \\ 1 & = 4 \ times 3-11 \ times 1 \\ 1000 & = 11 \ times (-1000) +3 \ times ( 4000) \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Por lo tanto, nuestras soluciones iniciales son [matemáticas] x_0 = -1000, y_0 = 4000 \ tag * {} [/ matemáticas]
Por lo tanto, las soluciones generales están dadas por
[matemáticas] x = x_0 + \ dfrac {bk} {\ text {gcd} (11,3)} = – 1000 + 3k \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = y_0- \ dfrac {ak} {\ text {gcd} (11,3)} = 4000-11k \ tag * {} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] k \ in \ Z [/ matemáticas]
Hay un número infinito de tales soluciones.