¿Cuál es el resto cuando 9 ^ 17 se divide por 7?

Answer 1

“ ¿Cuál es el resto cuando 9 ^ 17 se divide por 7 ? ”

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Otra forma de resolver este problema es dividir el exponente ([matemáticas] 17 [/ matemáticas]) de [matemáticas] 9 [/ matemáticas],

desde [matemáticas] 17 [/ matemáticas] = [matemáticas] 15 + 2 [/ matemáticas] = [matemáticas] 3 \ cdot 5 + 2 [/ matemáticas].

Recuerde en general que [matemáticas] a ^ {m + n} [/ matemáticas] = [matemáticas] a ^ m \ cdot a ^ n [/ matemáticas].

[matemáticas] 9 ^ {17} [/ matemáticas] = [matemáticas] 9 ^ {15} \ cdot 9 ^ 2 [/ matemáticas] = [matemáticas] 9 ^ {3 \ cdot 5} \ cdot 9 ^ 2 [/ matemáticas ]

Pero [matemática] 9 ^ 3 [/ matemática] MOD [matemática] 7 [/ matemática] = 1, entonces [matemática] (9 ^ 3) ^ 5 [/ matemática] MOD [matemática] 7 [/ matemática] = [matemática ] 1 [/ matemáticas]

y [matemáticas] 9 ^ 2 [/ matemáticas] MOD [matemáticas] 7 [/ matemáticas] = [matemáticas] 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] (4 \ cdot 1) [/ matemáticas] MOD [matemáticas] 7 [/ matemáticas] = [matemáticas] 4 [/ matemáticas]

El truco es encontrar un factor en el exponente que da

una congruencia de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] (MOD el divisor, [matemáticas] 7 [/ matemáticas]) para ayudar a simplificar la aritmética.

Answer 2

9 ^ 17 se puede escribir como (7 + 2) ^ 17, cuya expansión binomial deja solo un término (2 ^ 17) sin 7.

Entonces la expresión (7 + 2) ^ 17 mod 7 se simplifica a 2 ^ 17 mod 7.

2 ^ 17 mod 7 = (2 ^ 3) ^ 5 × 2 ^ 2 mod 7

es decir, 8 ^ 5 × 4 mod 7

es decir (7 + 1) ^ 5 × 4 mod 7

Esto se simplifica a 1 ^ 5 × 4 mod 7

es decir, 4 mod 7 = 4

Answer 3

Vamos a 9 ^ n, cuando n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9, … … …

9 ^ 1 = 9 ÷ 7, deja el resto 2 ……………… .. (1)

9 ^ 2 = 81 ÷ 7, deja el resto 4 .. …………… .. (2)

9 ^ 3 = 729 ÷ 7, deja el resto 1 …………… .. (3)

9 ^ 4 = 6561 ÷ 7, deja el resto 2 ……….… .. (4)

9 ^ 5 = 59049 ÷ 7, deja el resto 4 ……… .. (5)

9 ^ 6 = 531441 ÷ 7, deja el resto 1 ……… .. (6)

9 ^ 7 = 4782969 ÷ 7, deja el resto 2 … … .. (7)

………. …………. …………… ………… .. …………….

………… .. ……… .. ……… .. ………… ……… .. …… ..

Mira todos los restos arriba cuidadosamente. ¿Notaste algo?

Sí, creo que entendiste que el patrón (2,4,1) se repite después de cada 3 pasos,

Entonces, de 9 ^ 17, 17 mod 3 (pasos) es 2 .

De los pasos anteriores concluimos que, en el segundo paso, da el resto 4.

Entonces la respuesta es 4.

Answer 4

9 ^ 1 cuando se divide por 7 deja un resto 2.

9 ^ 2 cuando se divide por 7 deja un resto 4.

9 ^ 3 cuando se divide por 7 deja un resto 1.

A partir de aquí, el patrón se repite. La ciclicidad es 3.

Entonces, 9 ^ 17 cuando se divide por 7 deja un resto 4.