Una gran clase de problemas que preocupan a los teóricos de números son las ecuaciones diofantinas, es decir, las ecuaciones polinómicas en enteros. El último teorema de Fermat es un ejemplo de un conjunto de ecuaciones de diofantina (una para cada valor diferente del exponente).
Restringir las soluciones a los enteros generalmente dificulta el problema: por ejemplo, [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 [/ matemática] en números reales es fácil, para cualquier valor dado de z e y con [matemática] | y | \ leq | z | [/ math], puede resolver los 2 (o 1) valores de x que satisfacen la ecuación con [math] x = \ pm \ sqrt {z ^ 2 – y ^ 2} [/ math] . Probablemente recuerdes esto de la escuela intermedia o secundaria como la ecuación que describe un círculo. Esto se debe a que puede sacar la raíz cuadrada de un número real positivo y siempre obtener otro número real.
Si cambiamos a los enteros, este se convierte en el problema de describir todos los triples pitagóricos. No es un problema difícil per se, pero se necesita un poco más de trabajo para demostrar que todos los triples pitagóricos están parametrizados por pares enteros [matemática] (m, n) \ mapsto (m ^ 2 + n ^ 2, 2mn, m ^ 2 – n ^ 2) [/ math] (único hasta voltear el signo en myn).
En pocas palabras y con un lenguaje muy impreciso, la geometría algebraica moderna con el lenguaje de los esquemas nos permite hablar sobre geometría * sobre anillos (como los enteros) en lugar de campos (como los números reales o complejos). El vínculo con la geometría algebraica clásica es básicamente que si tiene un campo k, entonces el conjunto de polinomios sobre ese campo k (como k [x], todos los 1 polinomios variables con coeficientes en k) es un anillo. Si considera el plano real, por ejemplo (“el plano” es un objeto geométrico), el anillo de funciones polinómicas en el plano es [math] \ mathbb {R} [x, y] [/ math] (dicho “anillo de función “Es un objeto algebraico, y el doble de” el plano real “). Si restringe [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {Z} [/ math], y le da un polinomio, está hablando de todas las soluciones enteras para ese polinomio, es decir, soluciones para las correspondientes Ecuación diofantina.
- ¿Cuál es el resto [matemáticas] \ mod2 ^ {10} [/ matemáticas] del resto de [matemáticas] \ dfrac {2 ^ {200}} {20 ^ {10}} [/ matemáticas]?
- ¿Cuáles son algunos resultados profundos que involucran el conjunto infinito de primos?
- ¿Cuál es el resto cuando 9 ^ 17 se divide por 7?
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- ¿Es cierto que el producto de los lados de un triángulo rectángulo [con lados de longitud entera] es un múltiplo de 30? ¿Por qué o por qué no?
El tema va mucho, mucho más profundo, y desearía haber recordado más para dar algunos ejemplos más profundos, pero espero que eso ayude.
* No está realmente claro por un tiempo por qué toda la gimnasia misteriosa del álgebra conmutativa tiene algo que ver con la “geometría”, pero una vez que comprenda cómo funcionan las cosas como la localización en el contexto de k [x1, x2, x3 …] y más variedades proyectivas, se hace más claro por qué estas son las cosas “correctas” a tener en cuenta para la “geometría”.