Cómo encontrar el valor de [matemáticas] _2 F_1 \ left (\ dfrac {1} {3}, \ dfrac {2} {3}, \ dfrac {3} {2}, \ dfrac {27} {4} x ^ 2 (1-x ^ 2) ^ 2 \ derecha) [/ matemáticas]

Answer 1

Con algo de magia, podemos demostrar que

[matemáticas] \ displaystyle F \ left (\ frac 13, \ frac 23; \ frac 32; \ frac {27} 4x ^ 2 (1-x ^ 2) ^ 2 \ right) = \ frac {2 \ sin \ left [\ tfrac 13 \ sin ^ {- 1} \ left (\ tfrac {3 \ sqrt {3}} 2x (x ^ 2–1) \ right) \ right]} {x \ sqrt {3} (x ^ 2 –1)} \ tag * {} [/ math]

Usando la suma-expansión de la función, y usando

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} \ left (\ frac 13 \ right) _r \ left (\ frac 23 \ right) _r & = \ frac {\ left (1 \ right) _ {3r}} {3 ^ {3r} \ left (1 \ right) _r} \\\ left (\ frac 32 \ right) _r & = \ frac {\ left (2 \ right) _ {2r}} {2 ^ {2r} \ left (1 \ right) _r} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Encontramos eso

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} F \ left (\ frac 13, \ frac 23; \ frac 32; z ^ 2 \ right) & = \ sum \ limits_ {r \ geq0} \ frac {(1) _ {3r}} {r! (2) _ {2r}} \ left (\ frac {4z ^ 2} {27} \ right) ^ r \\ & = \ sum \ limits_ {r \ geq0} \ frac { (3r)!} {R! (2r + 1)!} \ Left (\ frac {4z ^ 2} {27} \ right) ^ r \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Y se puede demostrar que la expansión de [math] \ sin \ left (\ tfrac 13 \ sin ^ {- 1} x \ right) [/ math] es

[matemáticas] \ displaystyle \ sin \ left (\ tfrac 13 \ sin ^ {- 1} x \ right) = 3x \ sum \ limits_ {r \ geq0} \ frac {(3r)!} {r! (2r + 1 )!} \ left (\ frac {4x ^ 2} {27} \ right) ^ r \ tag * {} [/ math]

Al comparar, vemos que la secuencia hipergeométrica se evalúa en

[matemáticas] \ displaystyle F \ left (\ frac 13, \ frac 23; \ frac 32; \ frac {27} 4x ^ 2 (1-x ^ 2) ^ 2 \ right) = \ frac {2 \ sin \ left [\ tfrac 13 \ sin ^ {- 1} \ left (\ tfrac {3 \ sqrt {3}} 2x (x ^ 2–1) \ right) \ right]} {x \ sqrt {3} (x ^ 2 –1)} \ tag * {} [/ math]