¿Qué podría salir mal si la función inversa se define como solo g (f (x)) = x en lugar de g (f (x)) = x iff f (g (x)) = x?

Aquí hay un ejemplo de lo que podría salir mal según la definición propuesta de que [matemática] g [/ matemática] es un inverso de [matemática] f [/ matemática] si y solo si [matemática] g (f (x)) = x [/ math], con [math] f (g (x)) [/ math] no se requiere que sea [math] x [/ math]. Digamos que [math] f [/ math] es la función de [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math], de modo que [math] f (x) = e ^ x [/ matemáticas]. Según la definición propuesta de que solo [math] g (f (x)) = x [/ math] es obligatorio, todas las funciones [math] g [/ math] de [math] \ mathbb {R} [/ math] a [ math] \ mathbb {R} [/ math] con [math] g (y) = \ ln (y) [/ math] para [math] y> 0 [/ math] es un inverso de [math] x [/ matemáticas], independientemente de qué, digamos, [matemáticas] g (-1) [/ matemáticas] o [matemáticas] g (0) [/ matemáticas] es. Esto rompe dos cosas sobre inversas que esperamos.

  1. Esperamos que una función tenga solo una inversa (si tiene una). Esta [matemática] f (x) [/ matemática] ahora tiene infinitas inversas.
  2. Esperamos que la inversa de la inversa de la función sea la función misma. Por cada [matemática] g (x) [/ matemática] que sea un inverso de [matemática] f (x) [/ matemática] según la definición propuesta, [matemática] f (x) [/ matemática] no es un inverso de [matemática] g (x) [/ matemática], ya que [matemática] f (g (x)) [/ matemática] siempre es positiva. Entonces, por ejemplo, [matemáticas] f (g (-1)) [/ matemáticas] no es [matemáticas] -1 [/ matemáticas].

De hecho, esta situación ocurre con cualquier función [matemática] f [/ matemática] desde un conjunto [matemático] X [/ matemático] a un conjunto [matemático] Y [/ matemático] que es uno a uno pero no en. Esto significa que, por cada [matemática] y [/ matemática] en [matemática] Y [/ matemática], hay una [matemática] x [/ matemática] en [matemática] X [/ matemática] con [matemática] f (x) = y [/ math], o no existe [math] x [/ math], pero no puede haber más de uno, pero hay al menos un [math] y [/ math] en [math] Y [/ math] sin tal [math] x [/ math]. Sea [matemática] g [/ matemática] una función de [matemática] Y [/ matemática] a [matemática] X [/ matemática], de modo que, por cada [matemática] y [/ matemática] que sea una [matemática] f (x) [/ math], [math] g (y) = x [/ math], que se define únicamente porque [math] f [/ math] es uno a uno (por lo que no puede haber [math] x_1 [/ math] y [math] x_2 [/ math] en [math] X [/ math] con [math] f \ left (x_1 \ right) = f \ left (x_2 \ right) [/ math]). Independientemente de lo que sea [matemática] g (y) [/ matemática] (siempre que esté en [matemática] X [/ matemática]), para aquellos valores de [matemática] y [/ matemática] sin [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] f (x) = y [/ matemática], [matemática] g (f (x)) = x [/ matemática] para todos [matemática] x [/ matemática] en [matemática] X [/ matemáticas]. [math] f [/ math] no es una inversa de ninguna de estas funciones, porque [math] f (g (y)) [/ math] no es igual a [math] y [/ math] para esas [math] y [/ math] para el que no hay [math] x [/ math] con [math] f (x) = y [/ math]; después de todo, [matemática] f (x) [/ matemática] nunca es igual a [matemática] y [/ matemática], y [matemática] f (g (y)) [/ matemática] puede expresarse como [matemática] f (x ) [/ math] con [math] x = g (y) [/ math]. Por lo tanto, 1. y 2. todavía salen mal.

Por otro lado, esto puede corregirse insistiendo en que [math] f [/ math] (sigue siendo una función de [math] X [/ math] a [math] Y [/ math]) debe estar en (lo que significa que, por cada [matemática] y [/ matemática], hay al menos una [matemática] x [/ matemática] con [matemática] f (x) = y [/ matemática]), además de [matemática] g (f ( x)) = x [/ matemáticas]. Entonces, para todos [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] f (g (f (x))) = f (x) [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] f (g (y)) = y [/ math] para todos [math] y [/ math] en [math] Y [/ math], precisamente porque [math] f [/ math] está activado. Esto vuelve a la definición estándar de la inversa, una que requiere ambas [matemáticas] g (f (x)) = f (g (x)) [/ matemáticas]. Una forma de lograrlo es haciendo que [math] f [/ math] sea una función de [math] X [/ math] a su rango (esos [math] y [/ math] en [math] Y [/ math] para el cual hay una [matemática] x [/ matemática] en [matemática] X [/ matemática] con [matemática] f (x) = y [/ matemática]). Con el ejemplo [math] f (x) = e ^ x [/ math], esto se puede hacer haciendo que [math] f [/ math] sea una función de [math] \ mathbb {R} [/ math] a Números reales positivos.

La otra forma, definir [math] g [/ math] como un inverso de [math] f [/ math] si y solo si [math] f (g (x)) = x [/ math] también tiene problemas . Esta situación es simétrica a la otra. Digamos ahora que [math] f [/ math] es la función de [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math], de modo que [math] f (x) = \ ln (x) [/ matemática] para [matemática] x> 0 [/ matemática], y [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] para [matemática] x \ leq 0 [/ matemática]. Ahora, si [math] g (x) = e ^ x [/ math], esta es una función inversa de [math] f [/ math] bajo esta definición. Sin embargo, si [math] g (0) [/ math] se cambia a algo no positivo, [math] f (g (x)) [/ math] permanece igual a [math] x [/ math] para todos los [ matemáticas] x [/ matemáticas]. Entre los [math] g (x) [/ math] que son inversos de [math] f (x) [/ math], ninguno tiene [math] f (x) [/ math] como inverso, como [math] g (f (-1)) = g (0) = g (f (-2)) [/ math], entonces [math] g (f (y)) [/ math] no puede ser igual a [math] y [/ math] para todos los [math] x [/ math] reales.

Esta situación ocurre con cualquier función [matemática] f [/ matemática] (desde [matemática] X [/ matemática] a [matemática] Y [/ matemática]) que está activada, pero no uno a uno. Entonces, para cualquier [matemática] y [/ matemática] en [matemática] Y [/ matemática], hay al menos una [matemática] x [/ matemática] con [matemática] f (x) = y [/ matemática], pero al menos una [matemática] y [/ matemática] tiene más de una [matemática] x [/ matemática]. Entonces, deje que [math] g [/ math] sea cualquier función desde [math] Y [/ math] a [math] X [/ math], de modo que, por cada [math] x [/ math], [math] g (x) = y [/ math] donde [math] y [/ math] es uno de los valores que dan [math] f (y) = x [/ math]. Las diferentes opciones de [math] x [/ math], donde están disponibles, dan diferentes funciones [math] g [/ math]. Ahora, [matemática] f (g (x)) = x [/ matemática] para todos [matemática] y [/ matemática] en [matemática] Y [/ matemática], independientemente de cuál [matemática] g (x) [/ matemática] se utiliza. Sin embargo, [matemática] g (f (y)) [/ matemática] no siempre es igual a [matemática] y [/ matemática]: si [matemática] y_1 [/ matemática] y [matemática] y_2 [/ matemática] son ​​dos diferentes valores en [math] Y [/ math], de modo que [math] f \ left (y_1 \ right) = f \ left (y_2 \ right) [/ math], que existen porque [math] f [/ math] es no uno a uno, entonces [matemática] g \ left (f \ left (y_1 \ right) \ right) = g \ left (f \ left (y_2 \ right) \ right) [/ math], y esto no puede es igual a [matemáticas] y_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] y_2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, 1. y 2. fallan aquí también.

Esto puede corregirse insistiendo en que [matemática] f [/ matemática] sea uno a uno (por lo tanto, por cada [matemática] y [/ matemática] en [matemática] Y [/ matemática], hay como máximo uno [ matemática] x [/ matemática] con [matemática] f (x) = y [/ matemática]), además de [matemática] f (g (x)) = x [/ matemática]. Ahora, [matemáticas] f (g (f (y))) = f (y) [/ matemáticas], y eso significa que [matemáticas] g (f (y)) = y [/ matemáticas], precisamente porque [matemáticas ] f [/ math] es uno a uno. Esto una vez más da la definición estándar de la inversa. Esto se puede lograr restringiendo el dominio de [math] f [/ math], aunque eso no es tan agradable como la situación simétrica de hacer que [math] f [/ math] sea una función de [math] X [/ math] a su rango, porque hay más de una forma de hacer esto, y todos pierden información sobre [math] f [/ math]. En [matemática] f (x) = \ ln (x) [/ matemática] para [matemática] x> 0 [/ matemática], y [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] para [matemática] x \ leq 0 [/ math] ejemplo, esto se puede hacer restringiendo el dominio de [math] f [/ math] a todos los números reales positivos que no sean [math] 1 [/ math], y también a otro número real (ya sea [ matemática] 1 [/ matemática] o un número real no positivo). Eso permite que [math] g (x) = e ^ x [/ math] para [math] x \ neq 0 [/ math], con [math] g (0) [/ math] sea el número extra elegido en el dominio el inverso de [math] f (x) [/ math] (definido en la forma estándar).

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