¿De cuántas maneras se pueden poner 5 letras idénticas en 3 casillas postales idénticas? ¿Es 3 ^ 5 o 7C5?

Answer 1

Según su redacción, está claro que tener 5 letras en un cuadro y 0 en los otros dos cuadros sería la misma solución que tener los 5 en un cuadro diferente, ya que los cuadros y las letras son indistinguibles. Por lo tanto, podemos traducir este problema en una tarea más fácil:

¿De cuántas maneras hay para agrupar cinco 1s para que haya como máximo 3 grupos?

Entonces, por ejemplo, [matemática] (1 + 1 + 1) + (1) + (1) = 5 [/ matemática] se traduce en tener 3 letras en una casilla y una en cada una de las otras casillas.

Entonces, este problema en realidad tiene un conjunto bastante pequeño de soluciones, por lo que el enfoque más fácil sería la fuerza bruta sistemática.

Comience con 5 unidades en un grupo, claramente solo hay una solución

Luego, con 4 unidades, queda una 1, y no importa en qué casilla se inserte, por lo que hay una solución.

Con 3 unidades puede tener un 2 y 0, o 1 y 1. Entonces, hay dos soluciones

Con 2 unidades, podría tener 3 y 0, pero esto está cubierto en un caso anterior. Por lo tanto, nuestros bodes de segundo nivel deben tener menos o igual que el número de unos como el primer cuadro. Entonces solo podemos hacer 2 y 1. Entonces, hay una solución.

Si solo tenía 1 uno, entonces el máximo que puede poner en los otros cuadros es uno, por lo que le quedan dos. Por lo tanto no hay soluciones.

En general, hay [matemáticas] 1 + 1 + 2 + 1 = 5 [/ matemáticas] soluciones.

¿Quizás utilizando un método similar en diferentes cantidades de cuadros y letras podría encontrar una solución general? ¡Buena suerte!

Answer 2

Debe aclarar si tenemos que poner una letra en cada casilla o si pueden estar vacías. Hagámoslo de dos maneras:

1. Un mínimo de 1 letra por caja

U puede tener dos formas de hacerlo:

3,1,1 y 2,2,1

Ahora, dado que los buzones son idénticos, la disposición no debería importar.

2. Si no es necesario que todos los cuadros tengan una letra (lo cual supongo que es su pregunta)

Use las barras y bolas (o método de estrellas y bolas). Supongamos que hay 7 bolas:

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Necesitas cambiar solo 2 de ellos a estrellas (dejando 5 bolas). Cada bola representa una letra, y el número de bolas entre dos y dos estrellas es el número de bolas por casilla de correo. U puede elegir las estrellas de 7C5 o 7C2. Entonces, la cantidad de formas de distribuir 5 letras en 3 buzones idénticos es 7C5 o 7C2.

Bonificación: también puede haber una fórmula general para esto. Si necesitamos colocar n número si las letras en k número de cajas, vemos que necesitamos hacer k-1 estrellas. Como debe haber un número n de bolas restantes, debemos comenzar con n + k-1 bolas. Noe de n + k-1 bolas, elegimos k-1 de esas para convertirlas en estrellas.

Por lo tanto, la cantidad de formas de distribuir n letras entre k cajas (donde k <= n) siempre será:

(n + k-1) C (k-1)

Espero que esto haya ayudado

Answer 3

Será b 3 ^ 5 como la primera letra se puede poner en cualquiera de los tres cuadros y, de manera similar, en otros 4 también. Entonces, el ans requerido es 3 * 3 * 3 * 3 * 3

Answer 4

Si las cajas fueran distinguibles, este sería un clásico problema de barras y estrellas. Según el teorema 2, la respuesta sería [matemáticas] 7C5 = \ binom {7} {5} [/ matemáticas].

Si las cajas son intercambiables, entonces la pregunta se resuelve fácilmente por la fuerza bruta como en la respuesta de Stewart.

No estoy seguro de qué razonamiento llevaría a sospechar que podría ser [matemática] 3 ^ 5 [/ matemática]. Si hubiera tres buzones (distinguibles), podría poner una (no más, no menos) de cinco letras diferentes en cada buzón, y podría duplicar letras, entonces la respuesta sería [matemáticas] 3 ^ 5 [/ matemáticas]. (Si no pudiera duplicar, entonces sería [math] 5! / 2! [/ Math]).