Cómo encontrar los ceros de f (x) = x ^ 5-2x ^ 4 + 8x ^ 2-13x + 6

Answer 1

Gracias por el A2A!

Del teorema de la raíz racional, obtenemos que todas las raíces racionales estarán contenidas en:

[matemáticas] \ {1, \, 2, \, 3, \, 6, \, -1, \, -2, \, -3, \, -6 \} [/ matemáticas]

Al probar estos, vemos que [math] x = -2, \, 1 [/ math], por lo que podemos usar la división larga polinómica para factorizar [math] (x + 2) [/ math] y luego [math] ( x-1) [/ math] para obtener:

[matemáticas] f (x) = (x + 2) (x-1) (x ^ 3–3x ^ 2 + 5x-3) [/ matemáticas]

Podemos usar el teorema de la raíz racional nuevamente en ese cúbico interno para ver si alguna de las raíces racionales se repitió:

[matemáticas] \ {1, \, 3, \, -1, \, -3 \} [/ matemáticas]

Al probar esto, nuevamente vemos que [math] x = 1 [/ math] es una raíz racional, por lo que podemos factorizarlo nuevamente:

[matemáticas] f (x) = (x + 2) (x-1) ^ 2 (x ^ 2–2x + 3) [/ matemáticas]

Ahora, puede usar la fórmula cuadrática para obtener, finalmente, que:

[matemáticas] f (x) = (x + 2) (x-1) ^ 2 (x-r_1) (x-r_2) [/ matemáticas]

Dónde:

[matemáticas] r_1 = 1-i \ sqrt {2} \\ r_2 = 1 + i \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Answer 2

¿Yo? Inicialmente usaría una hoja de cálculo para representar gráficamente la función:

Desde aquí podemos ver que la función cruza el eje x en [matemática] x = -2 [/ matemática] y toca el eje x en [matemática] x = 1 [/ matemática]. Esto significa que [matemática] (x + 2) [/ matemática] y [matemática] (x-1) ^ 2 [/ matemática] son ​​ambos factores de la función.

Usando una técnica antigua conocida como “división larga” se puede demostrar que

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 5–2x ^ 4 + 8x ^ 2–13x + 6} {x + 2} = x ^ 4–4x ^ 4 + 8x ^ 3–8x + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 4–4x ^ 4 + 8x ^ 3–8x + 3} {x-1} = x ^ 3–3x ^ 2 + 5x-3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 3–3x ^ 2 + 5x-3} {x-1} = x ^ 2–2x + 3 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] x ^ 5–2x ^ 4 + 8x ^ 2–13x + 6 = (x + 2) (x-1) ^ 2 (x ^ 2–2x + 3) [/ matemáticas] para el cual los ceros están en [matemáticas] x = -2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] (con una multiplicidad de 2).

El factor final no tiene raíces reales porque tiene un discriminante negativo. Sin embargo, si permitimos números complejos, la función también tiene dos ceros en [math] x = 1 + i \ sqrt {2} [/ math] y [math] x = 1-i \ sqrt {2} [/ math]

Answer 3

Escríbalo en su software gratuito favorito de Computer Algebra System,

al igual que:

… o así:

… o simplemente escríbelo en Wolfram Alpha

… O si solo quieres las raíces reales y quieres ver cómo se ve la función, usa tu software de gráficos gratuito favorito:

Answer 4

A2A, gracias.

Para polinomios de grado 5 y superiores, no existe una fórmula general que exprese las raíces en radicales. Esta ausencia es el contenido del teorema de Abel-Ruffini – Wikipedia.

Si estuviera satisfecho con las soluciones numéricas, los dos primeros métodos que recomendaría probar son el método de Bisección – Wikipedia y el método de Newton – Wikipedia.

Answer 5

Primero encuentre la factorización indicada por Eric D. Luego use el resultado general para ecuaciones cúbicas de la forma A x ^ 3 + B x ^ 2 + C x + D = 0. También puede usar solo una de las primeras raíces en la factorización , luego use el resultado general para ecuaciones cuárticas de la forma A x ^ 4 + B x ^ 2 + C x ^ 2 + D x + E = 0. Puede encontrar ambas fórmulas en cualquier buen libro de álgebra estándar.