De la serie de Fourier [matemáticas] f (t) = A_0 + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} A_n \ cos (n \ omega t – \ alpha_n) [/ math], ¿cómo se puede demostrar que [matemáticas] \ dfrac {1} {T} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {T} f ^ 2 (t) \, \ mathrm dt = {A_ {0}} ^ 2 + \ dfrac {1} {2 } \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {A_n} ^ 2 [/ math]?

Answer 1

Ah, un buen ejemplo para probar el Teorema de Parseval. Para esto consideremos Período = [matemática] T [/ matemática]

Ahora sabemos lo que sucede en la función cuando integramos su cuadrado sobre su período y lo dividimos con el período. Se promedia para el cuadrado de todos los valores dentro del período.

Ahora con este conocimiento procedamos,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {T} \ int_ {0} ^ {T} f ^ 2 (t) dt = \ frac {1} {T} \ int_ {0} ^ {T} [A_0 + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty A_n \ cos (n \ omega t- \ alpha_n)] ^ 2 dt [/ math]

Sabemos que integrarlo completamente término por término terminaría en complicaciones, más bien podemos tratar de averiguar de manera inteligente qué tipo de términos están presentes e integrarlos luego con la información disponible.

Ahora, como se puede ver, existe un cuadrado. Primero, eliminémoslo y veamos qué términos están disponibles para nosotros. Para un comienzo, la expresión se parece a [math] (a + b) ^ 2 [/ math] que es igual a [math] a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ math]

Por lo tanto, aquí los términos a integrar son [matemática] A_0 ^ 2, 2 A_0 A_n \ cos (n \ omega t- \ alpha_n) [/ matemática] y [matemática] A_n ^ 2 [/ matemática] [matemática] \ cos ^ 2 (n \ omega t- \ alpha_n) [/ matemáticas]

Pasando a la integración ahora. Sabemos que integrar una función durante su período y dividirla con el período proporciona el valor promedio de la función. Entonces, el primer término [matemática] A_0 ^ 2 [/ matemática] como una constante tendrá el mismo valor. Ahora, en el segundo término, el valor promedio de [math] \ cos (n \ omega t- \ alpha_n) [/ math] da como resultado 0, ya que nuevamente sabemos que el promedio de cosenos en un período particular siempre es 0. El tercer término tiene [math] \ cos ^ 2 (n \ omega t- \ alpha_n) [/ math] ahora para obtener el valor promedio de este, necesitamos tomar todos los valores del coseno de un ángulo, cuadrarlos y agregarlos. Dado que el coseno de cierto ángulo es negativo y su cuadratura los hace positivos, sabemos que el promedio de 0 en un coseno que proviene de [matemáticas] \ frac {-1 + 1} {2} [/ matemáticas] ahora es [matemáticas] \ frac {0 + 1} {2} = \ frac {1} {2} [/ math] Por lo tanto, la expresión resultante es [math] \ frac {1} {2} A_n ^ 2 [/ math]

Tomando la suma de [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] n = \ infty [/ matemáticas] de [matemáticas] \ frac {1} {2} A_n ^ 2 [/ matemáticas] y sumando todas las demás expresiones restante tenemos,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {T} \ int_ {0} ^ {T} f ^ 2 (t) dt = A_0 ^ 2 + \ frac {1} {2} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty A_n ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 2

Se nos da que

[matemáticas] f (t) = A_0 + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} A_n \ cos \ left (n \ omega t – \ alpha_n \ right) [/ math]

Multiplicando ambos lados por [matemáticas] f (t) [/ matemáticas] obtenemos:

[matemáticas] {f (t)} ^ 2 = A_0f (t) + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} A_n \ cos \ left (n \ omega t – \ alpha_n \ right) f (t )[/matemáticas]

Integrando ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ T {f (t)} ^ 2 \, dt = A_0 \ displaystyle \ int_0 ^ T f (t) \, dt + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} A_n \ displaystyle \ int_0 ^ T cos \ left (n \ omega t – \ alpha_n \ right) [/ math]

Suponiendo que [matemática] f (t) [/ matemática] sea una función del período [matemática] 2T [/ matemática] y expandiendo [matemática] f (t) [/ matemática] como una serie de coseno de rango medio, vemos que las siguientes relaciones consideramos verdaderos :

[matemáticas] A_0 = \ dfrac {1} {T} \ displaystyle \ int_0 ^ T f (t) \, dt [/ math]

[matemáticas] A_n = \ dfrac {2 \ displaystyle \ int_0 ^ Tf (t) \ cos \ left (n \ omega t – \ alpha_n \ right) \, dt} {T} [/ math]

Usándolos en la ecuación obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ T {f (t)} ^ 2 \, dt = T {A_0} ^ 2 + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {T {A_n} ^ 2} {2} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ dfrac {\ displaystyle \ int_0 ^ T {f (t)} ^ 2 \, dt} {T} = {A_0} ^ 2 + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {{A_n} ^ 2} {2} [/ matemáticas]