¿Puedes diferenciar factorial x?

Answer 1

No, no puede diferenciar factorial [matemática] x [/ matemática].

Esto se debe a que el factorial, que es el número de permutaciones de un conjunto que contiene elementos [math] x [/ math], se define solo para [math] x \ in \ mathbb {Z} [/ math] (es igual a cero para enteros negativos).

Una derivada de una función [matemática] f [/ matemática] en un punto [matemática] x [/ matemática] se define solo si [matemática] f [/ matemática] también se define en una vecindad de [matemática] x [/ matemática ] (es decir, un conjunto que contiene al menos una bola abierta topológicamente centrada en [matemáticas] x [/ matemáticas]).

Esto significa que en una dimensión, necesita un continuo (bilateral) alrededor de [math] x [/ math] para definir su derivada (bilateral), por lo que no hablamos de la derivada de una función que se define en un conjunto discreto (como [math] \ mathbb {Z} [/ math]).

---

Lo más cercano que puede llegar a lo que desea es definiendo la siguiente función:

[matemáticas] \ Gamma: \ mathbb {R} _ + ^ * \ longrightarrow \ mathbb {R} _ +, x \ longmapsto \ displaystyle \ int_0 ^ {+ \ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t } dt [/ matemáticas]

(Hagámoslo simple, y olvidémonos de su definición en el semiplano complejo abierto de números de parte reales estrictamente positivos … y mucho menos su extensión analítica a todo el plano complejo – excluyendo polos. Digamos que solo se define para números reales estrictamente positivos …)

Esta integral converge absolutamente , y se puede mostrar con una integración por partes que:

[math] \ forall x \ in \ mathbb {R} _ + ^ *, \ \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x) [/ math]

Además, [math] \ Gamma (1) = 1 [/ math] es trivial.

Entonces podemos pensar en la función factorial como una restricción de la función [math] \ Gamma [/ math] a [math] \ mathbb {N} [/ math] y establecerla igual a cero para enteros negativos.

Lo que esto significa es que: [matemáticas] \ boxed {\ forall x \ in \ mathbb {N}, \ Gamma (x + 1) = x!} [/ Math]

En este sentido, podemos tener la oportunidad de definir algo que puede ser la “derivada del factorial” (aunque tal fraseo es abusivo ).

---

La regla integral de Leibniz establece que esta función [matemática] \ Gamma [/ matemática] es realmente diferenciable (puede verificar que todas las hipótesis se mantengan) y:

[math] \ forall x \ in \ mathbb {R} _ + ^ *, \ \ Gamma ‘(x) = \ displaystyle \ int_0 ^ {+ \ infty} \ frac {\ partial} {\ partial x} (e ^ {(x-1) \ ln (t)} e ^ {- t}) dt [/ math]

Por lo tanto:

[matemáticas] \ forall x \ in \ mathbb {R} _ + ^ *, \ \ Gamma ‘(x) = \ displaystyle \ int_0 ^ {+ \ infty} \ ln (t) t ^ {z-1} e ^ {-t} dt [/ math]

(Observe que la regla integral de Leibniz se mantendrá para cualquier poder de [math] \ ln (t) [/ math] por lo que una simple inducción demuestra que [math] \ Gamma [/ math] es de hecho infinitamente diferenciable en [math] \ mathbb {R} _ + ^ * [/ math]).

Ahora … tal vez esta forma de escribir la derivada no sea muy satisfactoria. Así que definamos una función [matemática] \ Psi [/ matemática] llamada función digamma :

[matemáticas] \ Psi: \ mathbb {R} _ + ^ * \ longrightarrow \ mathbb {R} _ +, x \ longmapsto \ frac {\ Gamma ‘(x)} {\ Gamma (x)} [/ math]

(Esta es la derivada logarítmica de [math] \ Gamma [/ math] y uno habrá demostrado fácilmente que [math] \ Gamma [/ math] no tiene polos en [math] \ mathbb {R} _ + ^ * [/ matemática] que permite que tal definición se mantenga).

Por lo tanto, podemos reescribir la derivada de [math] \ Gamma [/ math] de la siguiente manera:

[math] \ boxed {\ forall x \ in \ mathbb {R} _ + ^ *, \ Gamma ‘(x) = \ Gamma (x) \ Psi (x)} [/ math]

---

Para esta última parte … No estoy seguro de lo que hago es riguroso. (¡Los comentarios de los matemáticos son bienvenidos!)

¿Por qué es útil esto? Podría dar el resultado directamente, pero vamos paso a paso …

Bueno, consideremos [math] x \ in \ mathbb {N} ^ * [/ math] (enteros estrictamente positivos), entonces sabes que:

[matemáticas] \ Gamma (x + 1) = \ Gamma (x) \ veces (x) [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ ln (\ Gamma (x + 1)) = \ ln (\ Gamma (x)) + \ ln (x) [/ matemáticas]

Diferenciando con respecto a [math] x [/ math] rendimientos:

[matemáticas] \ frac {d \ ln (\ Gamma (x + 1))} {dx} = \ frac {d \ ln (\ Gamma (x))} {dx} + \ frac {1} {x} [ /matemáticas]

La iteración de esta diferenciación logarítmica produce:

[matemáticas] \ frac {d \ ln (\ Gamma (x + 1))} {dx} = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} +… + \ frac {1} {x} = h_ {x} [/ math] ([math] (x) [/ math] -th suma parcial armónica).

Pero sabes que la diferenciación logarítmica también toma la siguiente forma:

[matemáticas] \ frac {d \ ln (\ Gamma (x + 1))} {dx} = \ frac {\ Gamma ‘(x + 1)} {\ Gamma (x + 1)} [/ matemáticas]

Por lo tanto, “mágicamente” encontramos que:

[matemáticas] \ forall x \ in \ mathbb {N} ^ *, \ \ Psi (x + 1) = h_ {x} = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + … + \ Frac {1} {x} [/ matemáticas]

(Nota: en realidad, esta función digamma no solo es útil para responder a su pregunta, ¡es una extensión de las sumas armónicas parciales al dominio mucho más amplio de los números complejos!)

Así que, en general, nos queda algo que creo que está bastante cerca de lo que pedías :

[matemáticas] \ boxed {\ forall x \ in \ mathbb {N} ^ *, \ Gamma ‘(x + 1) = \ Gamma (x + 1) \ Psi (x + 1) = \ Gamma (x + 1) h_ {x}} [/ math]

Entonces también podrías escribir:

[matemáticas] ((x + 1)!) ‘= x! \ sum \ limites_ {k = 1} ^ {x} \ frac {1} {k} [/ matemáticas]

Pero no enmarcaré esta ecuación final porque es conceptualmente extremadamente abusiva , aunque puede ser lo más parecido a lo que creo que buscaste.

Espero que haya ayudado!

Answer 2

Realmente no. El factorial es una función de los números naturales, los derivados se refieren a límites que no son compatibles con los números naturales. Sin embargo, hay una función real continua Gamma que satisface Gamma (n + 1): = n! para cada número natural n, y esta función Gamma se puede diferenciar. Tenga en cuenta que esto NO es factorial, sino una extensión.