Para una función cúbica, ¿cómo puedo demostrar que el máximo, el mínimo y el punto de inflexión tienen valores de x en una secuencia aritmética?

Answer 1

Vamos a visualizarlo.

Tienes un gráfico cúbico ¿verdad?

Recuerde algunas cualidades importantes de ser un punto máximo / mínimo / inflexión.

Máximo / mínimo: la primera derivada en ese punto es 0, y la primera derivada cambia de signo a través de ese punto

Punto de inflexión: la segunda derivada en ese punto es 0, y la segunda derivada cambia de signo a través de ese punto

Muy bien, si solo quiero mirar un gráfico, es la primera derivada. Puede mirar directamente los puntos máximo / mínimo desde las intersecciones con el eje x , y el punto de inflexión desde el mínimo / máximo del primer gráfico derivado.

(El gráfico azul es la derivada del gráfico rojo)

Como el gráfico original es cúbico , la derivada es cuadrática , lo que significa que se comporta como una parábola.

El mínimo y el máximo son las intersecciones en x.

El vértice de la parábola corresponde a donde está la coordenada x del punto de inflexión.

Todos sabemos que la parábola (gráfica cuadrática) es simétrica respecto al eje vertical con el vértice.

Es por eso que las coordenadas x de máximo, punto de inflexión y mínimo forman una secuencia aritmética, precisamente porque el gráfico cuadrático correspondiente tiene una forma simétrica.

Para decirlo de manera más simple, la suma de raíces en la ecuación cuadrática correspondiente a la curva cuadrática es el doble de la coordenada x del vértice, lo que la convierte en una secuencia aritmética.

Answer 2

Por máximo y mínimo presumiblemente te refieres a máximos y mínimos locales (cuando existen).

La prueba es simple simplemente considerando la primera derivada. Será una parábola. Cuando la función cúbica tiene máximos y mínimos locales, la parábola, que es su derivada, cruzará el eje x en dos puntos. El vértice de la parábola estará exactamente en el medio de esos dos puntos y, por lo tanto, los ceros y el vértice formarán una secuencia aritmética ya que el vértice es equidistante de los dos ceros. Dado que el punto de inflexión de la función cúbica coincide con el vértice de la parábola, las coordenadas x del máximo local, el punto de inflexión y el mínimo local de la función cúbica deben formar una secuencia aritmética.

Answer 3

¡Esto suena interesantemente sorprendente!

Supongo que encontraré la primera derivada para encontrar los valores de x para los puntos máximo / mínimo, luego encontraré la segunda derivada para encontrar el valor de x para el punto de inflexión y luego veré cómo se ve.

Si consideramos estas 3 respuestas en orden, obtenemos:

esto está claramente en una secuencia aritmética con una diferencia común de “p”

Nota: ¡Esto supone que los 3 puntos son distintos y no todos se fusionaron en un solo punto de inflexión estacionario!

Answer 4

Considere una función cúbica general:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemáticas]

La derivada es:

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = 3ax ^ 2 + 2bx + c [/ matemáticas]

La segunda derivada es:

[matemáticas] \ displaystyle f ” (x) = 6ax + 2b [/ matemáticas]

Los extremos estarán en los puntos donde la primera derivada es cero:

[matemáticas] \ displaystyle 3ax ^ 2 + 2bx + c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-2b \ pm \ sqrt {4b ^ 2–12ac}} {6a} [/ matemáticas]

El punto de inflexión es donde la segunda derivada es cero.

[matemáticas] \ displaystyle 6ax + 2b = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-2b} {6a} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que si [math] \ frac {\ sqrt {4b ^ 2–12ac}} {6a} [/ math], se suma o resta del punto de inflexión, proporciona las ubicaciones de los extremos.

Answer 5

Aquí hay una respuesta que no usa ecuaciones; tu trabajo es llenar los vacíos.

Traslade en x para que el punto de inflexión esté en 0. Puede verificar que esto significa que el polinomio cúbico ahora tiene un término cuadrático cero: la segunda derivada se desvanece en 0. Los extremos son los ceros de la primera derivada, que por lo tanto es un valor cuadrático con sin término lineal, entonces cuyas raíces son raíces cuadradas conjugadas, lo que significa signo opuesto. En particular, junto con 0 forman una secuencia aritmética. Ahora deshaga su traducción y demuestre que traducir una secuencia aritmética produce otra, que en este caso también es el extremo y el punto de inflexión del cúbico original.

Answer 6

Answer 7

Los cúbicos son simétricos sobre su punto de inflexión. Por lo tanto, el punto de inflexión es el promedio de los puntos extremos y el resultado sigue.