¿Cómo lo integro? Bueno, no me gusta quedar atrapado en una rutina, ¡así que probablemente elijo un método diferente cada vez! Hay varios para elegir …
Deje [math] T = \ displaystyle \ int x \ sqrt {1-x} \, \ mathrm dx [/ math].
Método A: por partes
Podemos proceder aplicando la integración por partes, que utiliza la siguiente regla general: [math] \ int u \, \ mathrm dv = uv – \ int v \, \ mathrm du [/ math].
- ¿Qué gráficas representan el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades?
- ¿Cómo resuelvo esta ecuación? [matemáticas] (5 ^ x-25) ^ 3- (25 ^ x-5) ^ 3 = (5 ^ x + 25 ^ x-30) ^ 3 [/ matemáticas]
- ¿Cómo encuentro el término n de una serie de Fibonacci si el primer término es 1?
- ¿Cómo se demuestra la igualdad de los polinomios, lo que significa para todos los polinomios?
- Las coordenadas de los vértices B y C son (2,0) y (8,0), respectivamente. Si el vértice A continúa de tal manera que 4tanB / 2tanC / 2 = 1, ¿cuál es el lugar geométrico de A?
Deje [math] u = x [/ math] y [math] v = – \ frac {2} {3} \ left (1-x \ right) ^ \ frac {3} {2} [/ math], entonces [math] \ mathrm du = \ mathrm dx [/ math] y [math] \ mathrm dv = \ left (1-x \ right) ^ \ frac {1} {2} \, \ mathrm dx [/ math].
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ int u \, \ mathrm dv \\ & = uv – \ int v \, \ mathrm du \\ & = – {\ textstyle \ frac {2} {3 }} x \ left (1-x \ right) ^ \ frac {3} {2} + {\ textstyle \ frac {2} {3}} \ int \ left (1-x \ right) ^ \ frac {3 } {2} \, \ mathrm dx \\ & = – {\ textstyle \ frac {2} {3}} x \ left (1-x \ right) ^ \ frac {3} {2} – {\ textstyle \ frac {4} {15}} \ left (1-x \ right) ^ \ frac {5} {2} \\ & = – {\ textstyle \ frac {2} {15}} \ left (5x + 2 ( 1-x) \ right) \ left (1-x \ right) ^ \ frac {3} {2} \\ & = \ boxed {- {\ textstyle \ frac {2} {15}} \ left (3x + 2 \ right) \ left (1 – x \ right) \ sqrt {1 – x} + C} \ end {align} [/ math]
Método B: sustitución polinómica
Sea [math] u = 1 – x \ \ por lo tanto \ mathrm du = – \ mathrm dx [/ math].
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ int (u-1) \ sqrt {u} \, \ mathrm du \\ & = \ int \ left (u ^ \ frac {3} {2} – u ^ \ frac {1} {2} \ right) \, \ mathrm du \\ & = {\ textstyle \ frac {2} {5}} u ^ \ frac {5} {2} – {\ textstyle \ frac {2} {3}} u ^ \ frac {3} {2} \\ & = {\ textstyle \ frac {2} {5}} (1 – x) ^ \ frac {5} {2} – {\ textstyle \ frac {2} {3}} (1 – x) ^ \ frac {3} {2} \\ & = \ left ({\ textstyle \ frac {2} {5}} – {\ textstyle \ frac { 2} {5}} x – {\ textstyle \ frac {2} {3}} \ right) (1 – x) ^ \ frac {3} {2} \\ & = \ left (- {\ textstyle \ frac {2} {5}} x – {\ textstyle \ frac {4} {15}} \ right) (1 – x) \ sqrt {1 – x} \\ & = \ boxed {- {\ textstyle \ frac { 2} {15}} \ left (3x + 2 \ right) (1 – x) \ sqrt {1 – x} + C} \ end {align} [/ math]
Método C: sustitución trigonométrica
Recuerde que [math] \ sin ^ 2 {\ theta} + \ cos ^ 2 {\ theta} \ equiv 1 [/ math].
Deje que [matemáticas] x = \ cos ^ 2 {u} = 1 – \ sin ^ 2 {u} \ \ por lo tanto \ mathrm dx = -2 \ cos {u} \ sin {u} \, \ mathrm du [/ math ]
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = – 2 \ int \ left (1 – \ sin ^ 2 {u} \ right) \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 {u}} \ cdot \ cos { u} \ sin {u} \, \ mathrm du \\ & = -2 \ int \ left (\ cos {u} \ sin {u} – \ sin ^ 2 {u} \ cos {u} \ sin {u } \ right) \ sqrt {\ sin ^ 2 {u}} \, \ mathrm du \\ & = -2 \ int \ left (\ cos {u} \ sin ^ 2 {u} – \ cos {u} \ sin ^ 4 {u} \ right) \, \ mathrm du \\ & = -2 \ left ({\ textstyle \ frac {1} {3}} \ sin ^ 3 {u} – {\ textstyle \ frac {1 } {5}} \ sin ^ 5 {u} \ right) \\ & = – 2 \ left ({\ textstyle \ frac {1} {3}} – {\ textstyle \ frac {1} {5}} \ sin ^ 2 {u} \ right) \ sin ^ 3 {u} \\ & = – {\ textstyle \ frac {2} {15}} \ left (5 – 3 \ left (1 – \ cos ^ 2 {u } \ right) \ right) \ left (1 – \ cos ^ 2 {u} \ right) \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 {u}} \\ & = \ boxed {- {\ textstyle \ frac {2 } {15}} \ left (3x + 2 \ right) \ left (1 – x \ right) \ sqrt {1 – x} + C} \ end {align} [/ math]
Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final •
