¿Cuál es la integración de [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sqrt {a} – \ sqrt {x}} {1 – \ sqrt {ax}} dx [/ math]?

Answer 1

Gracias por el * A2A 🙂

Ha pasado bastante tiempo desde que hice este tipo de integraciones de raíces cuadradas, por lo que mi cerebro se había oxidado un poco, pero fue divertido de resolver. Ya existe una buena respuesta, así que lo intentaré de otra manera. ¡Veamos cómo funciona!

[matemáticas] \ text {Let} I = \ displaystyle \ int \ frac {\ sqrt {a} – \ sqrt {x}} {1- \ sqrt {ax}} \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] \ text {Racionalizando el denominador que obtenemos} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ frac {(\ sqrt {a} – \ sqrt {x}) (1+ \ sqrt {ax})} {1-ax} \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ frac {\ sqrt {a} + a \ sqrt {x} – \ sqrt {x} -x \ sqrt {a}} {1-ax} \ text {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Rompiendo las integrales que obtenemos} [/ matemáticas]

[matemática] = \ displaystyle \ int \ frac {\ sqrt {a}} {1-ax} \ text {d} x + (a-1) \ displaystyle \ int \ frac {\ sqrt {x}} {1-ax } \ text {d} x- \ sqrt {a} \ displaystyle \ int \ frac {x} {1-ax} \ text {d} x \ tag {1} [/ math]

[math] \ text {Ahora nuestras preocupaciones son con la segunda y tercera integrales} [/ math]

[matemáticas] \ text {Así que vamos} [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {1} = \ displaystyle \ int \ frac {\ sqrt {x}} {1-ax} \ text {d} x [/ math]

[matemática] I_ {2} = \ displaystyle \ int \ frac {x} {1-ax} \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] \ text {Resolviendo} I_ {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {1} = \ displaystyle \ int \ frac {x} {\ sqrt {x} (1-ax)} \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] \ text {Let} \ sqrt {x} = u [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ frac {1} {\ sqrt {x}} \ text {d} x = 2 \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] I_ {1} = \ displaystyle \ int \ frac {2u ^ 2} {(1-au ^ 2)} \ text {d} u [/ math]

[math] \ text {Dividiendo el numerador por denominador obtenemos} [/ math]

[matemáticas] I_ {1} = \ displaystyle \ int \ frac {- \ frac {2} {a} (1-au ^ 2) + \ frac {2} {a}} {1-au ^ 2} \ text {d} u [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {2} {a} \ displaystyle \ int \ text {d} u + \ frac {2} {a} \ displaystyle \ int \ frac {1} {1-au ^ 2} \ text { d} u [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {2} {a} \ displaystyle \ int \ text {d} u + \ frac {2} {a} \ displaystyle \ int \ frac {a} {a (1-au ^ 2)} \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {2} {a} \ displaystyle \ int \ text {d} u + \ frac {2} {a ^ 2} \ displaystyle \ int \ frac {1} {(\ frac {1} { a} -u ^ 2)} \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {2} {a} \ displaystyle \ int \ text {d} u + \ frac {2} {a ^ 2} \ displaystyle \ int \ frac {1} {\ left (\ frac {1 } {\ sqrt {a}} \ right) ^ 2-u ^ 2} \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {2} {a} u + \ frac {2} {a ^ 2} \ frac {\ sqrt {a}} {2} \ ln \ left (\ frac {1 + u \ sqrt { a}} {1-u \ sqrt {a}} \ right) [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {2} {a} u + \ frac {1} {a ^ \ frac {3} {2}} \ ln \ left (\ frac {1 + u \ sqrt {a}} {1 -u \ sqrt {a}} \ right) [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {2} {a} \ sqrt {x} + \ frac {1} {a ^ \ frac {3} {2}} \ ln \ left (\ frac {1+ \ sqrt {ax }} {1- \ sqrt {ax}} \ right) \ tag {2} [/ math]

[matemáticas] \ text {Ahora resolviendo} I_ {2} [/ matemáticas]

[matemática] I_ {2} = \ displaystyle \ int \ frac {x} {1-ax} \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {1} {a} \ displaystyle \ int \ frac {-ax} {1-ax} \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {1} {a} \ displaystyle \ int \ frac {1-ax-1} {1-ax} \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {1} {a} \ left \ {\ displaystyle \ int \ text {d} x- \ displaystyle \ int \ frac {1} {1-ax} \ text {d} x \ right \}[/matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {1} {a} \ left \ {x + \ frac {1} {a} \ ln (1 hacha) \ right \} [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {x} {a} – \ frac {1} {a ^ 2} \ ln (1-ax) \ tag {3} [/ matemáticas]

[math] \ text {Usando (2) y (3) en (1) obtenemos} [/ math]

[matemáticas] I = – \ frac {\ sqrt {a}} {a} \ ln (1-ax) + (a-1) \ left \ {- \ frac {2} {a} u + \ frac {1} {a ^ \ frac {3} {2}} \ ln \ left (\ frac {1 + u \ sqrt {a}} {1-u \ sqrt {a}} \ right) \ right \} – \ sqrt { a} \ left \ {- \ frac {x} {a} – \ frac {1} {a ^ 2} \ ln (1-ax) \ right \} [/ math]

[matemáticas] = \ boxed {- \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ ln (1-ax) + (a-1) \ left \ {- \ frac {2} {a} \ sqrt {x } + \ frac {1} {a ^ \ frac {3} {2}} \ ln \ left (\ frac {1+ \ sqrt {ax}} {1- \ sqrt {ax}} \ right) \ right \ } – \ sqrt {a} \ left \ {- \ frac {x} {a} – \ frac {1} {a ^ 2} \ ln (1-ax) \ right \}} [/ math]

[matemáticas] \ text {¡Gracias a Dios! Listo} [/ math]

Nota: Puede agregar una constante de integración en cada etapa. Integral estándar utilizado: [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {a ^ 2-x ^ 2} \ text {d} x = \ frac {1} {2a} \ ln \ left (\ frac {a + x} {hacha} \ derecha) [/ matemáticas]

¡Gracias a Awnon Bhowmik por ayudarme a deshacerme del óxido en mi cerebro!

Por favor, rectifícame si me equivoco.

[matemáticas] \ text {¡salud!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ enorme {\ ddot \ smile} [/ matemáticas]

Answer 2

Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {\ sqrt {a} – \ sqrt {x}} {1 – \ sqrt {ax}} \, dx [/ math]

Suponga que [math] \ displaystyle \ sqrt {ax} = \ sin ^ 2 (y) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ dfrac {\ sin ^ 4 (y)} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle dx = \ dfrac {4 \ sin ^ 3 (y) \ cos (x)} {a} \, dy [/ math]

Sustituyendo [math] x [/ math] con los valores supuestos anteriores en [math] I [/ math], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {4 (a – \ sin ^ 2 (y)) \ sin ^ 3 (y) \ cos (x)} {a \ sqrt {a} (1 – \ sin ^ 2 (y))} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {4 (a – \ sin ^ 2 (y)) \ sin ^ 3 (y) \ cos (x)} {a \ sqrt {a} \ cos ^ 2 (y) } \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {4 (a – \ sin ^ 2 (y)) \ sin ^ 3 (y)} {a \ sqrt {a} \ cos (y)} \, dy [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {4 \ sin ^ 3 (y)} {\ sqrt {a} \ cos (y)} \, dy – \ int \ dfrac {4 \ sin ^ 5 (y)} {a \ sqrt {a} \ cos (y)} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {4 (1 – \ cos ^ 2 (y)) \ sin (y)} {\ sqrt {a} \ cos (y)} \, dy – \ int \ dfrac { 4 (1 – \ cos ^ 2 (y)) ^ 2 \ sin (y)} {a \ sqrt {a} \ cos (y)} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {4 \ sin (y)} {\ sqrt {a} \ cos (y)} \, dy – \ int \ dfrac {4 \ cos (y) \ sin (y) } {\ sqrt {a}} \, dy – \ int \ dfrac {4 (1 + 2 \ cos ^ 2 (y) + \ cos ^ 4 (y)) \ sin (y)} {a \ sqrt {a } \ cos (y)} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ dfrac {4} {\ sqrt {a}} \ ln (| \ cos (y) |) – \ int \ dfrac {2 \ sin (2y)} {\ sqrt {a}} \, dy – \ int \ dfrac {4 \ sin (x)} {a \ sqrt {a} \ cos (y)} \, dy – \ int \ dfrac {8 \ cos (y) \ sin (y)} {a \ sqrt {a}} \, dy – \ int \ dfrac {4 \ cos ^ 3 (y) \ sin (y)} {a \ sqrt {a}} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ dfrac {4} {\ sqrt {a}} \ ln (| \ cos (y) |) + \ dfrac {\ cos (2y)} {\ sqrt {a}} + \ dfrac {4} {a \ sqrt {a}} \ ln (| \ cos (y) |) – \ int \ dfrac {4 \ sin (2y)} {a \ sqrt {a}} \, dy + \ dfrac { \ cos ^ 4 (y)} {a \ sqrt {a}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ dfrac {4} {\ sqrt {a}} \ ln (| \ cos (y) |) + \ dfrac {\ cos (2y)} {\ sqrt {a}} + \ dfrac {4} {a \ sqrt {a}} \ ln (| \ cos (y) |) + \ dfrac {2 \ cos (2y)} {a \ sqrt {a}} + \ dfrac {\ cos ^ 4 ( y)} {a \ sqrt {a}} + C [/ matemáticas]

Como, [math] \ displaystyle \ sqrt {ax} = \ sin ^ 2 (y) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica 1 – \ sqrt {ax} = 1 – \ sin ^ 2 (y) [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle \ implica 1 – \ sqrt {ax} = \ cos ^ 2 (y) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sqrt {1 – \ sqrt {ax}} = \ cos (y) [/ math]

También [math] \ displaystyle \ implica 2 \ sqrt {ax} = 2 \ sin ^ 2 (y) [/ math]

[math] \ displaystyle \ implica 1 – 2 \ sqrt {ax} = 1 – 2 \ sin ^ 2 (y) [/ math]

[matemática] \ displaystyle \ implica 1 – 2 \ sqrt {ax} = \ cos (2y) [/ math]

Sustituyendo los valores anteriores en I, obtenemos,

[matemáticas] \ bbox [#AFA] {\ displaystyle I = – \ dfrac {4} {\ sqrt {a}} \ ln (| \ sqrt {1 – \ sqrt {ax}} |) + \ dfrac {1 – 2 \ sqrt {ax}} {\ sqrt {a}} + \ dfrac {4} {a \ sqrt {a}} \ ln (| \ sqrt {1 – \ sqrt {ax}} |) + \ dfrac {2 (1 – 2 \ sqrt {ax})} {a \ sqrt {a}} + \ dfrac {(1 – \ sqrt {ax}) ^ 2} {a \ sqrt {a}} + C} [/ math]

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ sqrt {a} – \ sqrt {x}} {1- \ sqrt {ax}} \ mathrm {d} x [/ math]

Podemos intentar calcular la función que representa la sustitución indefinida integral anterior utilizando. Consideremos [math] x = z ^ 2 [/ math], [math] \ implica \ mathrm {d} x = 2z \ mathrm {d} z [/ math].

Por lo tanto, al realizar la sustitución anterior, la integral anterior se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ sqrt {a} -z} {1-z \ sqrt {a}} 2z \ mathrm {d} z [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ \ frac {2} {\ sqrt {a}} \ int \ frac {\ sqrt {a} -z} {\ frac {1} {\ sqrt {a}} – z} z \ mathrm {d} z [/ math]

Tomemos [math] b = \ sqrt {a} [/ math] y [math] \ displaystyle c = \ frac {1} {b} [/ math]. Con esto, la integral se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle 2c \ int \ frac {bz} {cz} z \ mathrm {d} z [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ 2c \ int \ frac {b + ccz} {cz} z \ mathrm {d} z [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ 2c \ int \ left (\ frac {bc} {cz} \ + \ \ frac {cz} {cz} \ right) z \ mathrm {d} z [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ 2c \ int \ left (\ frac {bc} {cz} \ + \ 1 \ right) z \ mathrm {d} z [/ math]

[matemática] \ displaystyle \ = \ 2c \ left (\ int z \ mathrm {d} z \ + \ \ int \ frac {bc} {cz} z \ mathrm {d} z \ right) [/ math]

[math] \ displaystyle \ = \ 2c \ left (\ int z \ mathrm {d} z \ + \ (bc) \ int \ frac {z} {cz} \ mathrm {d} z \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ 2c \ left (\ int z \ mathrm {d} z \ – \ (bc) \ int \ frac {ccz} {cz} \ mathrm {d} z \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ 2c \ left (\ int z \ mathrm {d} z \ – \ (bc) \ int \ left (\ frac {-c} {cz} \ + \ \ frac {cz} { cz} \ right) \ mathrm {d} z \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ 2c \ left (\ int z \ mathrm {d} z \ – \ (bc) \ int \ left (1 \ – \ \ frac {c} {cz} \ right) \ mathrm { d} z \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ 2c \ left (\ int z \ mathrm {d} z \ – \ (bc) \ left (\ int \ mathrm {d} z \ – \ \ int \ frac {c} {cz } \ mathrm {d} z \ right) \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ 2c \ left (\ int z \ mathrm {d} z \ – \ (bc) \ left (\ int \ mathrm {d} z \ – \ c \ int \ frac {\ mathrm { d} z} {cz} \ right) \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ 2c \ left (\ frac {z ^ 2} {2} \ – \ (bc) \ left (z \ – \ c \ left (- \ log_e \ lvert c – z \ rvert \ right) \ right) \ right) + \ mathrm {C} [/ math], donde [math] \ mathrm {C} [/ math] es una constante de integración.

Esto se simplifica aún más a:

[matemáticas] \ displaystyle c \ left (z ^ 2 \ – \ 2 (bc) \ left (z \ + \ c \ log_e \ lvert c – z \ rvert \ right) \ right) + \ mathrm {C} [/ matemáticas] o

[matemáticas] \ displaystyle c \ left (x \ – \ 2 (bc) \ left (\ sqrt {x} \ + \ c \ log_e \ lvert c – \ sqrt {x} \ rvert \ right) \ right) + \ mathrm {C} _1 [/ math], que después de sustituir los valores de [math] b [/ math] y [math] c [/ math] se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ left (x \ – \ 2 \ left (\ sqrt {a} – \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ right) \ left (\ sqrt {x} \ + \ \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ log_e \ left | \ frac {1} {\ sqrt {a}} – \ sqrt {x} \ \ right | \ right) \ right) + \ mathrm {C} _1 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ left (x \ – \ 2 \ left (\ sqrt {a} – \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ right) \ left (\ sqrt {x} \ + \ \ frac {1} {a} \ log_e \ left | \ 1 \ – \ \ sqrt {ax} \ \ right | \ right) \ right) + \ mathrm { C} _1 [/ matemáticas]

Answer 4

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sqrt {a} – \ sqrt {x}} {1 – \ sqrt {ax}} dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac 1 {\ sqrt a} \ int \ dfrac {a – \ sqrt {ax}} {1 – \ sqrt {ax}} dx [/ math]

[matemática] = \ displaystyle \ dfrac 1 {\ sqrt a} \ int \ left (1+ \ dfrac {a- 1} {1 – \ sqrt {ax}} \ right) dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ dfrac x {\ sqrt a} + \ dfrac {a-1} {\ sqrt a} \ underbrace {\ int \ dfrac 1 {1 – \ sqrt {ax}} dx} _ {I_1} [/matemáticas]

Para la evaluación de I_1, sustituya [math] 1 – \ sqrt {ax} = t [/ math]

[matemáticas] \ sqrt {ax} = 1-t [/ matemáticas]

[matemáticas] ax = (1-t) ^ 2; dx = \ dfrac 2 a (t-1) dt [/ math]

I_1 = \ dfrac 2 a [matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {t-1} t dt = \ dfrac 2 a t- \ dfrac 2 a \ ln t = \ dfrac 2 a (1 – \ sqrt {ax}) – \ dfrac 2 a \ ln | 1 – \ sqrt {ax} | [/ math]

La sustitución de espalda da

[matemáticas] I = \ boxed {\ dfrac x {\ sqrt a} + \ dfrac {2 (a-1)} {a ^ {3/2}} \ left \ {1 – \ sqrt {ax} – \ ln | 1 – \ sqrt {ax} | \ right \} + C} [/ math]