Demuestre que Zn tiene un número par de generadores si n> 2. ¿Qué dice esto sobre phie (n)?

Answer 1

Supongo que está preguntando sobre el grupo cíclico [math] \ mathbf {Z} _n [/ math] de orden [math] n [/ math], con [math] n> 2 [/ math]. Como también menciona la función totient de Euler [math] \ phi (n) [/ math], sería útil tratar el grupo en cuestión como el grupo aditivo de residuos módulo [math] n [/ math]; generalmente se denota [math] \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math], y [math] + [/ math] se usa como un símbolo para la operación del grupo. Un elemento [math] g \ in \ mathbf {Z} _n [/ math] es un generador si cada elemento [math] a \ in \ mathbf {Z} _n [/ math] puede expresarse como una suma repetida [math] a = g + g + \ cdots + g, [/ math] Pero entonces [math] -g [/ math] también es un generador; de hecho, [math] a = -b [/ math] para algunos [math] b \ in \ mathbf {Z} _n [/ math], y [math] b [/ math] es una suma de [math] g [ / math] ‘s, y por lo tanto tenemos, para arbitraria [math] a \ in \ mathbf {Z} _n [/ math],

[matemáticas] a = -b = – (g + \ cdots + g) = (-g) + \ cdots + (- g) [/ math].

Entonces los generadores vienen en pares [math] (g, -g) [/ math], y este es un par verdadero, es decir, [math] g \ ne -g [/ math], a menos que [math] g + g \ equiv 0 \ bmod n [/ math]. Pero entonces solo puede hacer dos elementos [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] g [/ matemática] sumando repetidamente [matemática] [[matemática] ” y, por lo tanto, [matemática] n = 2 [/ matemáticas], contrario a nuestra suposición de que [matemáticas] n> 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, el número de generadores en [math] \ mathbf {Z} _n [/ math] es par para todos [math] n> 2 [/ math].

Hay otro resultado elemental en la teoría de números: un número natural [matemática] 0 <g 2 [/ math].

Answer 2

Primero, como lema, mostramos que si [math] a [/ math] es un generador de [math] \ mathbb {Z} _ {n} [/ math], entonces [math] -a [/ math] es también.

Prueba: suponga que [math] a [/ math] genera [math] \ mathbb {Z} _ {n} [/ math]. Entonces, por cada [matemática] x \ en \ mathbb {Z} _ {n} [/ matemática], existe un número entero [matemática] k_ {x} [/ matemática] tal que [matemática] k_ {x} a = x [/matemáticas]. Entonces, para algunos enteros [math] k _ {- a} [/ math], tenemos [math] k _ {- a} a = -a [/ math]. Agregar [matemática] -a [/ matemática] a ambos lados [matemática] k _ {- a} -1 [/ matemática] veces da [matemática] a = k _ {- a} (- a) [/ matemática], lo que significa que para cualquier [matemática] x \ in \ mathbb {Z} _ {n} [/ matemática]

[matemáticas] x = k_ {x} a = k_ {x} (k _ {- a} (- a)) = (k_ {x} k _ {- a}) (- a) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] -a [/ math] es un generador de [math] \ mathbb {Z} _ {n} [/ math]. ∎

A continuación, tenga en cuenta que para [matemática] n> 2 [/ matemática], [matemática] a [/ matemática] y [matemática] -a [/ matemática] debe ser distinta. Esto se desprende del teorema de que [math] a [/ math] genera [math] \ mathbb {Z} _ {n} [/ math] si y solo si [math] a [/ math] y [math] n [/ matemática] son ​​coprimos [1], ya que los únicos casos en que [matemática] a = -a [/ matemática] son ​​donde [matemática] a = 0 [/ matemática] o [matemática] a = \ frac {n} {2} [/ math] (si [math] n [/ math] es par), ninguno de los cuales es coprime con [math] n [/ math].

Con eso, ahora podemos probar la proposición original.

Prueba: Let [math] n \ in \ mathbb {Z} ^ {> 2} [/ math]. Creamos una lista de la siguiente manera: dejemos que [math] a_ {1} [/ math] sea un generador arbitrario de [math] \ mathbb {Z} _ {n} [/ math], y para [math] i> 1 [/ math] deje que [math] \ a_ {i} [/ math] sea un generador de [math] \ mathbb {Z} _ {n} [/ math] que no está en la lista, si existe. Entonces la lista [matemáticas] a_ {1}, -a_ {1}, a_ {2}, -a_ {2}, …, a_ {k}, -a_ {k} [/ matemáticas]

• Contiene todos los generadores de [math] \ mathbb {Z} _ {n} [/ math], o de lo contrario no terminaría.
• Contiene solo generadores de [math] \ mathbb {Z} _ {n} [/ math], según el lema anterior.
• Tiene elementos [matemáticos] 2k [/ matemáticos], ya que ningún generador es su propio inverso.

Por lo tanto, la lista anterior de generadores de [math] \ mathbb {Z} _ {n} [/ math] contiene un número par de elementos. ∎

Finalmente, como [math] \ phi (n) [/ math] cuenta el número de enteros entre [math] 0 [/ math] y [math] n [/ math] que son coprimos con [math] n [/ math] , el teorema antes mencionado de que [matemáticas] \ left \ langle a \ right \ rangle = \ mathbb {Z} _ {n} \ iff \ gcd (a, n) = 1 [/ math] implica que el número de generadores de [ math] \ mathbb {Z} _ {n} [/ math] es [math] \ phi (n) [/ math]. Por lo tanto, según la prueba anterior, [math] \ phi (n) [/ math] es par para [math] n> 2 [/ math].

Notas al pie

[1] El elemento es generador del grupo cíclico iff Coprime with Order