¿Cómo podría integrar [math] \ displaystyle \ int x ^ 2 \ sqrt {x ^ 2 + 1} \, \ mathrm dx [/ math]?

Answer 1

Deje [math] \ displaystyle I = \ int x ^ 2 \ sqrt {x ^ 2 + 1} \, dx [/ math]

Suponga que [matemáticas] x = \ tan (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica dx = \ sec ^ 2 (y) \, dy [/ matemáticas]

La sustitución de los valores anteriores en [matemáticas] I [/ matemáticas] nos da,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ tan ^ 2 (y) \ sqrt {\ tan ^ 2 (y) + 1} \ sec ^ 2 (y) \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ tan ^ 2 (y) \ sec ^ 3 (y) \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int (\ sec ^ 2 – 1) \ sec ^ 3 (y) \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = \ int \ sec ^ 5 (y) \, dy – \ int \ sec ^ 3 (y) \, dy [/ math]

Antes de resolver [matemáticas] I [/ matemáticas], necesitamos derivar la fórmula de reducción para

[matemáticas] \ displaystyle J_n = \ int \ sec ^ n (y) \, dy [/ math]

Vamos a aplicar la integración por técnica de piezas para encontrar la fórmula de reducción para [math] J_n [/ math],

Suponga que [math] \ displaystyle u = \ sec ^ {n – 2} (y) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica du = (n – 2) \ sec ^ {n – 2} (y) \ tan (y) \, dy [/ math]

y [math] \ displaystyle dv = \ sec ^ 2 (y) \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica v = \ int dv = \ int \ sec ^ 2 (y) \, dy = \ tan (y) [/ math]

Como, [matemáticas] \ displaystyle \ int u \, dv = uv – \ int v \, du [/ math]

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle J_n = \ sec ^ {n – 2} (y) \ tan (y) – \ int (n – 2) \ sec ^ {n – 2} (y) \ tan ^ 2 (y ) \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sec ^ {n – 2} (y) \ tan (y) – (n – 2) \ int \ sec ^ {n – 2} (y) (\ sec ^ 2 (y) – 1) \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sec ^ {n – 2} (y) \ tan (y) – (n – 2) \ int \ sec ^ n (y) \, dy + (n – 2) \ int \ sec ^ {n – 2} (y) \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica J_n = \ sec ^ {n – 2} (y) \ tan (y) – (n – 2) J_n + (n – 2) J_ {n-2} [/ matemática]

[matemática] \ displaystyle \ implica (n – 1) J_n = \ sec ^ {n – 2} (y) \ tan (y) + (n – 2) J_ {n-2} [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica J_n = \ dfrac {\ sec ^ {n – 2} (y) \ tan (y)} {n – 1} + \ dfrac {n – 2} {n – 1} J_ {n -2} [/ matemáticas]

Como tenemos la reducción, apliquémosla en [matemáticas] I [/ matemáticas],

Como, [matemáticas] \ displaystyle I = J_5 – J_3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {\ sec ^ 3 (y) \ tan (y)} {4} + \ dfrac {3} {4} J_3 – J_3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {\ sec ^ 3 (y) \ tan (y)} {4} – \ dfrac {1} {4} J_3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {\ sec ^ 3 (y) \ tan (y)} {4} – \ left (\ dfrac {\ sec (y) \ tan (y)} {8} + \ dfrac { 1} {8} J_1 \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {\ sec ^ 3 (y) \ tan (y)} {4} – \ dfrac {\ sec (y) \ tan (y)} {8} – \ dfrac {1} { 8} \ int sec (y) \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = \ dfrac {\ sec ^ 3 (y) \ tan (y)} {4} – \ dfrac {\ sec (y) \ tan (y)} {8} – \ dfrac { 1} {8} \ ln (| seg (y) + \ tan (y) |) [/ matemáticas]

Como, [matemáticas] \ tan (y) = x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ tan ^ 2 (y) + 1 = x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ seg (y) = \ sqrt {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

Sustituyendo los valores anteriores de [math] y [/ math] en [math] I [/ math], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ dfrac {x (x ^ 2 + 1) ^ {\ frac {3} {2}}} {4} – \ dfrac {x \ sqrt {x ^ 2 + 1}} {8 } – \ dfrac {1} {8} \ ln (| \ sqrt {x ^ 2 + 1} + x |) + C [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int x ^ 2 \ sqrt {x ^ 2 + 1} dx [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ int \ {(x ^ 2 + 1–1) \ sqrt {x ^ 2 + 1} \} dx [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int \ {{(x ^ 2 + 1}) ^ {\ frac 32} – \ sqrt {x ^ 2 + 1} \} dx [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int {(x ^ 2 + 1}) ^ {\ frac 32} dx– \ int \ sqrt {x ^ 2 + 1} dx [/ math]

integrando el primero por partes

[matemáticas] I = \ displaystyle x (x ^ 2 + 1) ^ {\ frac 32} – \ int 3x ^ 2 (x ^ 2 + 1) ^ {\ frac 12} dx– \ int \ sqrt {x ^ 2 +1} dx [/ matemáticas]

[matemática] = \ displaystyle x (x ^ 2 + 1) ^ {\ frac 32} -3I– \ int \ sqrt {x ^ 2 + 1} dx [/ math]

Entonces [matemáticas] 4I = \ displaystyle x (x ^ 2 + 1) ^ {\ frac 32} – \ int \ sqrt {x ^ 2 + 1} dx [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]

Uso de la forma estándar en lugar de reinventar la rueda [matemáticas] \ int \ sqrt {x ^ 2 + a ^ 2} = \ dfrac {x \ sqrt {x ^ 2 + a ^ 2}} 2+ \ dfrac {a ^ 2} 2 \ ln | x + \ sqrt {x ^ 2 + a ^ 2} | [/ matemáticas]

[matemáticas] 4I = \ displaystyle x (x ^ 2 + 1) ^ {\ frac 32} – \ dfrac {x \ sqrt {x ^ 2 + 1}} 2- \ dfrac {1} 2 \ ln | x + \ sqrt {x ^ 2 + 1} | [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] I = \ boxed {\ displaystyle \ dfrac {x (x ^ 2 + 1) ^ {\ frac 32}} 4– \ dfrac {x \ sqrt {x ^ 2 + 1}} 8- \ dfrac { 1} 8 \ ln | x + \ sqrt {x ^ 2 + 1} | + C} [/ math]

Answer 3

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int x ^ 2 \ sqrt {x ^ 2 + 1} \, \ mathrm dx \\ & = \ int \ sinh ^ 2u \ sqrt {\ sinh ^ 2u + 1} \ cdot \ cosh u \, \ mathrm du \ qquad [\ porque x = \ sinh u] \\ & = \ int \ sinh ^ 2u \ cosh ^ 2u \, \ mathrm du \\ & = \ int \ dfrac14 \ sinh ^ 22u \, \ mathrm du \\ & = \ int \ dfrac14 \ cdot \ dfrac12 (\ cosh4u-1) \, \ mathrm du \\ & = \ dfrac18 \ int \ cosh 4u \, \ mathrm du- \ int \ dfrac18 \, \ mathrm du \\ & = \ dfrac1 {32} \ sinh 4u- \ dfrac18u + C \\ & = \ dfrac1 {16} \ sinh 2u \ cosh 2u- \ dfrac18u + C \\ & = \ dfrac18 \ sinh u \ cosh u (\ cosh ^ 2 u + \ sinh ^ 2u) – \ dfrac18u + C \\ & = \ dfrac18x \ sqrt {x ^ 2 + 1} (x ^ 2 + x ^ 2 + 1) – \ dfrac18 \ sinh ^ {- 1} (x) + C \\ & = \ dfrac18x (2x ^ 2 + 1) \ sqrt {x ^ 2 + 1} – \ dfrac18 \ sinh ^ {- 1} (x) + C \ end {alinear} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Resultado ha sido probado con Desmos | Hermosa, Matemáticas Gratis

Parece que funciona bien.