Observe que la potencia más alta posible es [matemáticas] 9: [/ matemáticas] [matemáticas] 2 ^ 9 = 512 1000. [/ Math] (Ignoremos el caso trivial de [math] 1 ^ n. [/ Math])
Por lo tanto, necesitamos determinar cuántos números tienen la forma [matemática] a ^ n [/ matemática] donde [matemática] 1 \ leq a ^ n \ leq 1000 [/ matemática] y [matemática] 2 \ leq n \ leq 9 .[/matemáticas]
Sin embargo, no necesitamos considerar los casos en que [matemática] n = 4, 6, 8 [/ matemática] o [matemática] 9 [/ matemática] porque ya han sido cubiertos por los casos [matemática] n = 2 [ / matemáticas] o [matemáticas] 3. [/ matemáticas]
Por lo tanto, debemos considerar los casos en que [matemáticas] n = 2,3,5 [/ matemáticas] o [matemáticas] 7. [/ Matemáticas]
- ¿Cómo podría integrar [math] \ displaystyle \ int x ^ 2 \ sqrt {x ^ 2 + 1} \, \ mathrm dx [/ math]?
- Demuestre que Zn tiene un número par de generadores si n> 2. ¿Qué dice esto sobre phie (n)?
- Para una función cúbica, ¿cómo puedo demostrar que el máximo, el mínimo y el punto de inflexión tienen valores de x en una secuencia aritmética?
- Si Raj tenía un tercio de la edad de Rahim hace 5 años y Raj tiene 17 años ahora, ¿cuántos años tiene Rahim ahora?
- Si 9x = 81, ¿cuál es el valor de x?
[matemáticas] n = 7 [/ matemáticas]
El único caso permitido es [matemáticas] 2 ^ 7 = 128 [/ matemáticas] porque [matemáticas] 3 ^ 7 = 2187 [/ matemáticas] es demasiado grande.
[math] \ Longrightarrow [/ math] Tenemos [math] 1 [/ math] poder de [math] 7. [/ math]
[matemáticas] n = 5 [/ matemáticas]
Tenemos los números [matemáticas] 2 ^ 5 = 32 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 ^ 5 = 243. [/ matemáticas] Otras quintas potencias son demasiado grandes.
[matemática] \ Longrightarrow [/ matemática] Tenemos [matemática] 2 [/ matemática] poderes de [matemática] 5 [/ matemática] [matemática]. [/ matemática]
[matemáticas] n = 3 [/ matemáticas]
El número más grande cuyo cubo es menor o igual a [matemática] 1000 [/ matemática] es [matemática] 10. [/ matemática] Por lo tanto, tenemos [matemática] 9 [/ matemática] números posibles: de [matemática] 2 ^ 3 [/ matemáticas] a [matemáticas] 10 ^ 3. [/ Matemáticas]
[matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]
El número más grande cuyo cuadrado que es menor o igual a [matemáticas] 1000 [/ matemáticas] es [matemáticas] 31. [/ Matemáticas] Por lo tanto, tenemos [matemáticas] 30 [/ matemáticas] números posibles: de [matemáticas] 2 ^ 2 [/ matemáticas] a [matemáticas] 31 ^ 2. [/ Matemáticas]
Ahora tenemos que considerar el caso cuando un número es tanto un cuadrado como un cubo. Tenga en cuenta que una combinación que involucra un poder [matemático] 5 ^ {th} [/ matemático] o [matemático] 7 ^ {th} [/ matemático] con otro poder es demasiado grande. Por lo tanto, necesitamos descubrir cuántos números son una potencia de [matemáticas] 6. [/ Matemáticas]
Solo hay [matemáticas] 2 [/ matemáticas] tales números menores que [matemáticas] 1000: [/ matemáticas] [matemáticas] 2 ^ 6 = 64 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 ^ 6 = 729 [/ matemáticas]
El número [math] 1 [/ math] puede, por supuesto, expresarse como un poder [math] n ^ {th} [/ math] de infinitas maneras.
Resumiendo los casos, tenemos [matemáticas] 1 + 2 + 9 + 30-2 + 1 = 41 [/ matemáticas] números que pueden expresarse como la potencia de otro número y son menores o iguales a [matemáticas] 1000. [ /matemáticas]
La probabilidad requerida es [matemática] \ en caja {\ frac {41} {1000}} [/ matemática]