¿Cómo resuelve [matemáticas] (\ frac {x-2} {x + 2}) ^ 2 \ gt 9 [/ matemáticas]?

¿Está bien si te muestro un enfoque diferente, solo por diversión?

[matemáticas] \ begin {align} \ left (\ dfrac {x-2} {x + 2} \ right) ^ 2 &> 9 \\\ left (\ dfrac {x-2} {x + 2} \ right) ^ 2-9 &> 0 \\\ left (\ dfrac {x-2} {x + 2} +3 \ right) \ left (\ dfrac {x-2} {x + 2} -3 \ right) &> 0 \\\ dfrac {(x-2 + 3x + 6) (x-2-3x-6)} {(x + 2) ^ 2} &> 0 \\\ dfrac {(4x + 4) (- 2x -8)} {(x + 2) ^ 2} &> 0 \\\ text {Dividir por} (- 8) \\\ text {y recuerde cambiar el signo de desigualdad} \\\ dfrac {(x + 1) (x + 4)} {(x + 2) ^ 2} & <0 \\\ hline \ text {Zeros} &: x = -4, -1 \\\ text {Discontinuity} &: x = – 2 \ end {align} \ tag * {} [/ math]


Utilice el método de curva ondulada

  • Adelante, recoge los restos.
  • Busque las regiones donde el valor de la función es negativo

La solución debe ser [matemáticas] \ bbox [2pt, borde: 2pt # 10f sólido] {\ bbox [# AFA, 5px] {(- 4, -2) \ cup (-2, -1)}} \ tag * {}[/matemáticas]

Así que en Summery, desde la respuesta a una pregunta particular publicada.

Resolver la inequidad es encontrar un conjunto de números que funcionen para tal restricción.

  1. Encontrar límites
  2. Encuentra puntos problemáticos
  3. Identificar diferentes soluciones posibles basadas en límites.
  4. Identifique los conjuntos mediante una selección aleatoria de un punto que funcione para una restricción particular.

Raíz cuadrada a ambos lados:

[matemática] \ izquierda | \ frac {x-2} {x + 2} \ derecha |> 3 [/ matemática]

[matemáticas] | x-2 |> 3 | x + 2 | [/ matemáticas]

Bueno, ambos lados son continuos en [matemáticas] x [/ matemáticas], así que comencemos por resolver los puntos donde:

[matemáticas] | x-2 | = 3 | x + 2 | [/ matemáticas]

Las respuestas, por cierto, son [matemáticas] x = -4 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas].

Bueno, estos son los únicos lugares donde la igualdad anterior puede “cambiar”, por lo que debemos verificar un solo punto en cada segmento [[math] (- \ infty, -4) [/ math], [math] (- 4 , -1) [/ math], [math] (- 1, \ infty) [/ math]] para ver si la desigualdad se mantiene. Como resultado, la desigualdad se mantiene en [matemáticas] (- 4, -1) [/ matemáticas] pero no en los otros dos segmentos.

Por lo tanto, la respuesta es ingenuamente [matemáticas] (- 4, -1) [/ matemáticas]. ¡Pero espera! Tenemos que eliminar [matemáticas] -2 [/ matemáticas], porque no podemos dividir por cero.

Entonces, la respuesta es [matemáticas] (- 4, -2) \ cup (-2, -1) [/ matemáticas].

La forma más fácil, a menos que quieras volver a aprender matemáticas, es usar algo como Wolfram Alpha. Aquí está el tuyo.

Notarás que puedes pegar muchos tipos de cosas allí y lo resolverá por ti.

De todos modos, la respuesta:

Cuando te enfrentas a una división, lo primero que debes hacer es deshacerte del denominador. Para hacer eso, primero tenemos que cuadrar ambos términos:
[matemáticas] {\ frac {x-2} {x + 2}} ^ 2 = \ frac {(x-2) ^ 2} {(x + 2) ^ 2} = \ frac {x ^ 2–4x + 4} {x ^ 2 + 4x + 4} [/ matemáticas]

Después de hacer esto, puede multiplicar ambos lados por el denominador:

[matemáticas] \ frac {x ^ 2–4x + 4} {x ^ 2 + 4x + 4}> 9
\ implica {x ^ 2–4x + 4}> 9 (x ^ 2 + 4x + 4) [/ matemáticas]

Ahora podemos redistribuir el 9 en el lado izquierdo:

[matemáticas] {x ^ 2–4x + 4}> 9x ^ 2 + 9 * 4x + 9 * 4 = 9x ^ 2 + 36x + 36 [/ matemáticas]

Ahora resta el lado derecho de la izquierda (o al revés, producirá el mismo resultado):

[matemáticas] -8x ^ 2 -40x -32> 0 [/ matemáticas]

Ahora puedes resolver x completando el cuadrado o usando la fórmula cuadrática. Esto da dos soluciones [matemáticas] x_1 = -4 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 = -1 [/ matemáticas].
Estos son los puntos donde las soluciones de la ecuación cambian su signo.

Así que solo hay dos opciones de cómo podría verse nuestra ecuación:

uno de los abre hacia arriba, uno hacia abajo.

Recuerde que queremos que nuestra ecuación sea mayor que 0.

así que tenemos que averiguar dónde está el arca de nuestro gráfico sobre el eje x.

La forma más sencilla de hacerlo es probar un número que no sea uno de los ceros. eg 0

[matemáticas] f (x) = -8x ^ 2 -40x -32 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] f (0) = -8 (0) ^ 2 -40 * 0 -32 = -32 [/ matemáticas]

[matemáticas] -32 <0; [/ matemáticas]

entonces nuestro gráfico tiene que estar por debajo de 0 en x = 0. Dado que para cada raíz, el signo del resultado cambia, solo hay una opción de cómo podría verse nuestra ecuación: el gráfico se abre en la parte inferior (como en la imagen 2). Ahora es lógico que si buscamos soluciones, que son mayores que 0, solo tenemos la opción:

[matemáticas] -4

(Por cierto, generalmente se puede decir que el resultado está entre las dos raíces cuando el coeficiente del polinomio con el grado más alto es positivo)

Lo único que debemos tener en cuenta es que no podemos usar “-2” en esta ecuación, ya que entonces dividiríamos por 0 en nuestra ecuación original.
[matemáticas] f (x) = (\ frac {x-2} {x + 2}) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (-2) = (\ frac {(- 2) -2} {(- 2) +2}) ^ 2 = (\ frac {-4} {0}) ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces en conclusión:

[matemáticas] (- 4; -1) \ diagdown \ {- 2 \} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ left (\ frac {x-2} {x + 2} \ right) ^ 2 &> 9 \\ (x-2) ^ 2 &> 9 (x + 2) ^ 2 \\ x ^ 2 – 4x + 4 &> 9x ^ 2 + 36x + 36 \\ 0 &> 8x ^ 2 + 40x + 32 \\ x ^ 2 + 5x + 4 y <0 \\ (x + 1 ) (x + 4) & <0 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

[math] \ text {Dado que el coeficiente inicial es positivo, el valor está entre las raíces, es decir} [/ math]

[matemática] \ en caja {-4

[matemáticas] \ displaystyle \ bigg (\ frac {x-2} {x + 2} \ bigg) ^ 2> 9 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x \ neq -2 \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ bigg (\ frac {x-2} {x + 2} \ bigg) ^ 2> 9 \ iff \ bigg (\ frac {x-2} {x + 2} \ bigg) ^ 2- 9> 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ bigg (\ frac {x-2} {x + 2} \ bigg) ^ 2-9> 0 \ iff (x-2) ^ 2-9 (x + 2)> 0 \ tag * {}[/matemáticas]

Esto se puede hacer porque [math] (x + 2) ^ 2 [/ math] siempre es positivo y podemos asegurarnos de que el signo de desigualdad nunca cambie.

[matemáticas] \ displaystyle (x-2) ^ 2-9 (x + 2)> 0 \ iff (x ^ 2-4x + 4) -9 (x ^ 2 + 4x + 4)> 0 \ etiqueta * {} [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (x ^ 2-4x + 4) -9 (x ^ 2 + 4x + 4)> 0 \ iff x ^ 2-4x + 4-9x ^ 2-36x-36> 0 \ tag * { }[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2-4x + 4-9x ^ 2-36x-36> 0 \ iff -8x ^ 2-40x-32> 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle -8x ^ 2-40x-32> 0 \ iff -8 (x + 4) (x + 1)> 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (x + 4) (x + 1) <0 \ iff x> -1 \ vee x> -4 \ tag * {} [/ matemáticas]

Hay dos raíces de la igualdad,

[matemáticas] \ displaystyle x = -4, x = -1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Usando el método de línea numérica,

Entonces está entre [matemáticas] -4 [/ matemáticas] y [matemáticas] -1. [/ math] Sin embargo, hay una discontinuidad en [math] x = -2 [/ math]

Entonces, los conjuntos de números son,

[matemática] \ displaystyle (-4, -2) \ cup (-2, -1) \ tag * {} [/ math]

Aquí hay una “pista”:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ left (\ frac {x-2} {x + 2} \ right) ^ 2 &> 9 \\ x ^ 2-4x + 4 &> 9 (x ^ 2 + 4x + 4) \\ x ^ 2-4x + 4 &> 9x ^ 2 + 36x + 36 \\ 0> x ^ 2 & + 5x + 4 \\ 0> (x & + 4) (x + 1) \\ \ end {alinear} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] -4

[matemáticas] [\ dfrac {x-2} {x + 2}] ^ 2> 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] [\ dfrac {x-2} {x + 2}] ^ 2-3 ^ 2> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] [\ dfrac {x-2} {x + 2} -3] [\ dfrac {x-2} {x + 2} +3] [/ matemáticas]

[matemáticas] [\ dfrac {-2x-8} {x + 2}] [\ dfrac {4x + 4} {x + 2}] [/ matemáticas]