Aquí hay una técnica que se enseña casi en ninguna parte en 11 y 12 en la India para encontrar derivados de tales funciones.
Te diré las reglas formales más tarde. Por ahora, déjame mostrarte con el ejemplo lo que hace.
Si tuvo [matemáticas] y = a ^ x [/ matemáticas] o [matemáticas] y = x ^ a [/ matemáticas], ya conoce la solución. Entonces, lo que debe hacer aquí (para [matemáticas] y = x ^ y [/ matemáticas]) es tratar la base ([matemáticas] x [/ matemáticas] en este caso) constante y encontrar la derivada y luego tratar el exponente ( [math] y [/ math]) constante y encuentra la derivada. La respuesta es la suma de ambos.
Tratar la base como constante: [matemáticas] x ^ y \ ln (x) \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas] (recuerde que [matemáticas] \ frac {d} {dx} a ^ y = a ^ y \ En (a) \ frac {dy} {dx} [/ math]
- ¿Cómo se factorizan [matemáticas] x ^ 3-1 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la integración de [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sqrt {a} – \ sqrt {x}} {1 – \ sqrt {ax}} dx [/ math]?
- ¿Cómo puedo encontrar rápidamente las raíces de las ecuaciones cuadráticas para números más grandes?
- ¿Cuál es la integración de log 10x?
- ¿Cómo resuelve [matemáticas] (\ frac {x-2} {x + 2}) ^ 2 \ gt 9 [/ matemáticas]?
Tratando el exponente como constante: [matemáticas] yx ^ {y-1} [/ matemáticas] (recuerde que [matemáticas] \ frac {d} {dx} x ^ a = ax ^ {a-1} [/ matemáticas]
La suma: [matemáticas] yx ^ {y-1} + x ^ y \ ln (x) \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas] (que es la respuesta, como se prometió)
Requerido: Un término de forma [matemática] f (u (x), v (x)) [/ matemática]
Aquí en [matemática] x ^ y [/ matemática], [matemática] u (x) = x [/ matemática], [matemática] v (x) = y (x) [/ matemática].
Fórmula: la fórmula es
[matemáticas] \ frac {d} {dx} f (u (x), v (x)) = \ frac {\ partial f} {\ partial u} \ frac {du} {dx} + \ frac {\ partial f} {\ partial v} \ frac {dv} {dx} [/ math]
Si conoce la diferenciación pero no sabe la diferenciación parcial, deje de leer, estudie qué es durante 30 segundos (ya que no debería tomar más tiempo) y regrese aquí. Vale la pena.
Una regla para gobernarlos a todos
Al estudiar la diferenciación, estudias la regla del producto, la regla del cociente, etc. Esta regla es suficiente.
Regla del producto
Considere [matemáticas] y = u (x) .v (x) [/ matemáticas]
Cuando [math] u [/ math] es constante: [math] \ frac {dy} {dx} = u \ frac {dv} {dx} [/ math]
Cuando [math] v [/ math] es constante: [math] \ frac {dy} {dx} = v \ frac {du} {dx} [/ math]
Su suma es la respuesta requerida. No necesitabas la regla del producto en absoluto.
Probablemente debería intentar mostrar la regla del cociente usando esto.
Hay otras cosas que puedes hacer con esto, pero creo que es mejor dejarlo para otra respuesta.
