Cómo encontrar todas las soluciones de enteros [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]: [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + 3xy = 6021 [/ matemáticas]

Answer 1

Me ocuparé de los casos enteros positivos desde que pueda . Como tanto [math] 6021 [/ math] como [math] 3xy [/ math] son ​​divisibles por [math] 3 [/ math], entonces también debe ser [math] x ^ 3 + y ^ 3 [/ math]. Sin embargo, [matemáticas] {x ^ 3} \ equiv x \ bmod 3 [/ matemáticas]. Por lo tanto, tanto [math] x [/ math] como [math] y [/ math] son ​​divisibles por [math] 3 [/ math]. Entonces, [matemáticas] x = 3a [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 3b [/ matemáticas]. La ecuación ahora se simplifica a [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + ab = 223 [/ matemáticas]. De esto debe quedar claro que [matemáticas] a <7 [/ matemáticas]. Que dos dejan mucho que hacer. Por prueba, [matemática] a = 6 [/ matemática] y [matemática] b = 1 [/ matemática] funciona y por simetría también [matemática] a = 1 [/ matemática] y [matemática] b = 6 [/ matemática ] Ningún otro trabaja. Y gracias a Bernard, en realidad termino citando x e y como [matemáticas] (3,18) [/ matemáticas] y [matemáticas] (18,3). [/ Matemáticas]

Answer 2

La idea es que si | x | y | y | son grandes, entonces x + y tiene que estar cerca de cero.

Reescribe la ecuación como

(x + y) ^ 3–3 (x + y-1) (xy) = 6021.

Si xy es negativo, entonces (x + y) debe ser positivo, de lo contrario, el lado izquierdo es <0. Además, en este caso (x + y) ^ 3 <6021 y es divisible por 3, lo que da 3,6,9,12,15,18 como sea posible x + y. Para cada uno de estos valores, uno tiene una ecuación cuadrática en x.

Si xy no es negativo, entonces x e y no deben ser negativos mirando la ecuación original. Entonces uno tiene un límite en x e y, y de nuevo uno puede mirar los casos.

Answer 3

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + 3xy = 6021 [/ matemáticas]

tenga en cuenta que [matemáticas] x ^ 3 \ equiv x \ mod 3 [/ matemáticas]

podemos obtener: [matemáticas] x + y \ equiv x ^ 3 + y ^ 3 \ equiv 6021-3xy \ equiv 3 (2007-xy) \ equiv 0 \ mod 3 [/ matemáticas]

esto conducirá a

[matemáticas] 2007-xy = \ frac {x ^ 3 + y ^ 3} {3} = \ frac {x + y} {3} (x ^ 2-xy + y ^ 2) = \ frac {x + y } {3} ((x + y) ^ 2-3xy) \ equiv 0 \ mod 3 [/ math]

entonces, [matemáticas] xy = 2007- (2007-xy) \ equiv 2007 \ equiv 0 \ mod 3 [/ matemáticas]

así, x e y son divisibles por 3.

El resto, consulte la respuesta de Doug Dillon.

o:

supongamos que [matemáticas] x = 3a, y = 3b, 0 \ leq a \ leq b [/ math]

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + ab = 223 <343 = 7 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 \ leq a \ leq b \ leq 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] 223 = a ^ 3 + b ^ 3 + ab \ leq 2b ^ 3 + b ^ 2 [/ matemáticas]

tenga en cuenta que [matemáticas] 2 \ veces 4 ^ 3 + 4 ^ 2 <223 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 5 [/ matemáticas] o [matemáticas] b = 6 [/ matemáticas]

podemos encontrar que hay una solución: [matemáticas] b = 6, a = 1 [/ matemáticas]

en este caso, x = 3, y = 18.