La dificultad de este es reconocer la distribución que se está utilizando. Tengo muchas distribuciones memorizadas, así que lo reconocí tan pronto como vi [math] -x ^ 2 [/ math] en el exponente.
Esta es una aplicación de la distribución Weibull. Hay varias definiciones, la que estoy usando es la de mi libro de texto “Probabilidad para la gestión de riesgos” de Hassett y Stewart.
Esta distribución particular se aplica comúnmente en la ciencia actuarial, mi especialidad. Lo interesante es que si se usa para modelar la vida de algo, como una persona o un objeto, esta distribución tiene la propiedad de que la probabilidad de fallar (morir) aumenta con la edad si [matemáticas] \ alpha> 1 [/ matemáticas]. Esto se conoce como la tasa de riesgo.
Para la distribución de Weibull, el CDF viene dado por:
- ¿La función de valor absoluto para el dominio de todos los números reales positivos tiene una función inversa?
- Si [matemáticas] x ^ 3 = 3 ^ x [/ matemáticas], ¿cómo se calcula [matemáticas] x [/ matemáticas]?
- Si x ^ 3 = 2, ¿cuál es el valor de x?
- ¿Cuál es la expansión de la serie Maclaurin de x ^ y [o pow (x, y)]?
- Si x + iy = 3 / (2 + cosA + isinA), ¿a qué equivale x ^ 2 + y ^ 2?
[matemáticas] F (X) = 1 – e ^ {- \ beta x ^ {\ alpha}} [/ matemáticas]
Por lo tanto, no es difícil ver que [matemáticas] \ beta = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ alpha = 2 [/ matemáticas]
En wikipedia, el parámetro [math] \ alpha [/ math] se llama k, y el parámetro [math] \ beta [/ math] se reemplaza por [math] \ frac {1} {\ lambda ^ k} [/ math ], equivalentemente:
[matemáticas] \ lambda = \ dfrac {1} {\ beta ^ {\ frac {1} {\ alpha}}} [/ matemáticas]
Distribución de Weibull – Wikipedia
Esa también parece ser la versión de la distribución Weibull utilizada por Microsoft Excel. Función WEIBULL.DIST
El valor esperado y la varianza de la distribución de Weibull están dados por:
[matemáticas] E (X) = \ dfrac {\ Gamma \ left (1 + \ dfrac {1} {\ alpha} \ right)} {\ beta ^ {\ frac {1} {\ alpha}}} [/ math ]
[matemáticas] V (X) = \ dfrac {1} {\ beta ^ {\ frac {2} {\ alpha}}} \ left [\ Gamma \ left (1 + \ dfrac {2} {\ alpha} \ right ) – \ Gamma \ left (1 + \ dfrac {1} {\ alpha} \ right) ^ 2 \ right] [/ math]
Es posible que no haya estado expuesto a la función Gamma antes, por lo que le daré una breve explicación. Función gamma – Wikipedia
La función Gamma es una forma de extender el factorial a valores que no son enteros. Cuando el parámetro ES un número entero, [math] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ Math]
Como se desplaza por 1, el cálculo de términos sucesivos funciona así:
[matemáticas] \ Gamma (n + 1) = n \ cdot \ Gamma (n) [/ matemáticas]
Otra definición bien conocida de la función Gamma es:
[matemáticas] \ Gamma \ left (\ dfrac {3} {2} \ right) = \ dfrac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ math]
Esto muestra que si el factorial se definiera en 1/2, el factorial de 1/2 sería ese valor. Sin embargo, el factorial no está definido allí, es por eso que necesitamos esta función.
Aplicando la fórmula del valor esperado, obtenemos esto:
[matemática] E (X) = \ dfrac {\ Gamma \ left (1 + \ dfrac {1} {2} \ right)} {1 ^ {\ frac {1} {2}}} [/ math]
[matemática] E (X) = \ Gamma \ izquierda (\ dfrac {3} {2} \ derecha) [/ matemática]
[matemáticas] E (X) = \ dfrac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] E (X) \ aprox. 0.8862 [/ matemáticas]
Aplicando la fórmula de varianza, obtenemos esto:
[matemáticas] V (X) = \ dfrac {1} {1 ^ {\ frac {2} {2}}} \ left [\ Gamma \ left (1 + \ dfrac {2} {2} \ right) – \ Gamma \ left (1 + \ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 \ right] [/ math]
[matemática] V (X) = \ Gamma (2) – \ Gamma \ left (\ dfrac {3} {2} \ right) ^ 2 [/ math]
[matemáticas] V (X) = 1! – \ left (\ dfrac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ right) ^ 2 [/ math]
[matemáticas] V (X) = 1 – \ dfrac {\ pi} {4} [/ matemáticas]
[matemática] V (X) \ aproximadamente 0.2146 [/ matemática]