Aquí hay un enfoque general para encontrar soluciones reales:
[matemáticas] x ^ 3 = 3 ^ x [/ matemáticas]
La función raíz del cubo es biyectiva, por lo que podemos aplicarla a ambos lados conservando todas las soluciones.
[matemáticas] x = 3 ^ {\ frac x3} [/ matemáticas]
- Si x ^ 3 = 2, ¿cuál es el valor de x?
- ¿Cuál es la expansión de la serie Maclaurin de x ^ y [o pow (x, y)]?
- Si x + iy = 3 / (2 + cosA + isinA), ¿a qué equivale x ^ 2 + y ^ 2?
- ¿Cuántas soluciones existen que satisfacen x ^ 2 + 5 [x] + 6 = 0, donde [x] es el entero más grande menor o igual que x?
- ¿Cómo resuelvo esta desigualdad, [math] \ dfrac {\ sqrt {2x-1}} {x-2} \ lt 1? [/ Math]
Ahora usamos la definición de exponenciación en términos de la función exponencial para escribir:
[matemáticas] x = \ exp \ left (\ frac {\ ln 3} 3x \ right) [/ math]
Ahora hacemos algunos pasos de álgebra (todos los cuales son biyecciones) por razones que abordaré en un momento
[matemáticas] x \ exp \ left (- \ frac {\ ln 3} 3x \ right) = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] – \ frac {\ ln 3} 3x \ exp \ left (- \ frac {\ ln 3} 3x \ right) = – \ frac {\ ln 3} 3 [/ math]
Ahora tenemos la expresión en la forma [math] f (x) \ exp (f (x)) = c [/ math] que nos permite emplear la función Lambert W que es la “inversa” de [math] u \ exp (u) [/ matemáticas]. Más adelante abordaré por qué pongo las citas al revés.
[matemáticas] – \ frac {\ ln 3} 3x = W \ izquierda (- \ frac {\ ln 3} 3 \ derecha) [/ matemáticas]
Y ahora obtenemos la (s) solución (es) en términos de Lambert W:
[matemática] x = – \ frac 3 {\ ln 3} W \ izquierda (- \ frac {\ ln 3} 3 \ derecha) [/ matemática]
La función [math] u \ exp (u) [/ math] no es invertible, por lo que resulta que el Lambert W es en realidad una función multivalor sobre una parte de su dominio, es decir, desde [math] \ left (- \ frac 1e, 0 \ derecha) [/ matemáticas]. Para argumentos en este rango, hay dos valores reales diferentes para el Lambert W a menudo escrito como [math] W_0 [/ math] y [math] W _ {- 1} [/ math]. Resulta que [matemáticas] – \ frac {\ ln 3} 3 \ in \ left (- \ frac 1e, 0 \ right) [/ math]. Entonces obtendremos dos soluciones reales a su pregunta que denotaré [math] x_0 [/ math] y [math] x _ {- 1} [/ math] para que coincida con la notación Lambert W:
[matemáticas] x_0 = – \ frac 3 {\ ln 3} W_0 \ left (- \ frac {\ ln 3} 3 \ right) [/ math]
y
[matemáticas] x _ {- 1} = – \ frac 3 {\ ln 3} W _ {- 1} \ left (- \ frac {\ ln 3} 3 \ right) [/ math]
Resulta que [matemáticas] x _ {- 1} = 3 [/ matemáticas], que es la solución trivial. La otra solución es:
[matemáticas] x_0 \ aprox 2.478052680288302411893736516894690307868142312689099163591 \ ldots [/ matemáticas]
Editar: La respuesta original aborda específicamente las dos soluciones reales. Otras respuestas, así como un comentario del autor de la pregunta, impulsaron esta breve adición que también aborda las soluciones complejas.
Convenientemente, si desea soluciones complejas, solo necesita extender la función Lambert W para que sea una función compleja de valores múltiples. Entonces [math] W_k (\ cdot) [/ math] representa la rama [math] k ^ {\ text {th}} [/ math] donde [math] k [/ math] puede ser cualquier número entero. Entonces obtienes de inmediato todas las soluciones complejas (de las cuales hay un número infinitamente contable). Solo [math] W_0 [/ math] y [math] W _ {- 1} [/ math] dan soluciones con cero partes imaginarias, por lo que solo estas corresponden a las soluciones reales abordadas en la respuesta original.
Puede usar wolframalpha.com para obtener una aproximación numérica de la solución correspondiente a cualquier rama particular que desee si sabe que la función de registro del producto es otro nombre para la función Lambert W. Por ejemplo, la consulta a Wolfram:
registro de producto (-15, -log (3) / 3)) * - 3 / log (3)
devolverá la solución correspondiente a la rama [math] k = -15 [/ math]. Ese valor es aproximadamente:
[matemáticas] x _ {- 15} \ aprox. 15.02003537467605446238886114239124830243 \ ldots [/ matemáticas]
[matemáticas] + i \ cdot 244.3282147480640186318386032967277572567 \ ldots [/ matemáticas]
Con una calculadora lo suficientemente buena, verá que este número complejo también satisface su ecuación. Puede reemplazar [math] -15 [/ math] en la llamada de función con cualquier número entero (hasta las limitaciones de la capacidad de Wolfram de manejar números de gran magnitud sin errores de desbordamiento) y obtener cualquiera de las otras soluciones también.