¿Existe una función [math] f (x) [/ math] que sea integrable mientras que [math] \ int f (x) \ mathrm {d} x [/ math] no es diferenciable?

Answer 1

Sí, hay tales funciones.

Tenga en cuenta que el teorema fundamental del cálculo nos dice que si [math] f (x) [/ math] es continuo, entonces [math] \ int f (x) \, \ mathrm dx [/ math] es uniformemente continuo, diferenciable y su derivada es [math] f (x) [/ math], por lo que para encontrar una función que sea integrable pero para la cual [math] \ int f (x) \, \ mathrm dx [/ math] no es diferenciable necesitaremos mirar funciones que no son continuas .

Por ejemplo, considere la función [matemáticas] f (x) = \ left \ lfloor x \ right \ rfloor [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle \ int f (x) \, \ mathrm dx = \ left \ lfloor x \ right \ rfloor \ left (x – {\ scriptsize \ frac {1} {2}} \ left \ lfloor x \ right \ rfloor – {\ scriptsize \ frac {1} {2}} \ right) [/ math]

La función [matemática] f (x) [/ matemática] consiste en segmentos horizontales (constantes) y es discontinua en cada número entero. La integral de [math] f (x) [/ math] consiste en segmentos lineales y es continua pero no uniforme en cada número entero. A lo largo de cada segmento lineal, la integral de [math] f (x) [/ math] tiene una derivada constante, pero en cada entero no tiene una derivada.

Aquí hay una gráfica de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] (en azul) y la integral de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] (en púrpura):

(ver Motor de conocimiento computacional)

Para que una función sea “diferenciable” debe tener una derivada en cada punto de su dominio. Como la integral de [math] f (x) [/ math] no tiene una derivada en los enteros, pero los enteros son parte de su dominio, la integral de [math] f (x) [/ math] no es diferenciable en cualquier intervalo que incluya al menos un número entero.

Answer 2

Sí definitivamente.

Todos conocemos el teorema fundamental del cálculo Intregal, sí, el teorema de Newton-Leibnitz donde diferenciamos un intregal. Pero eso solo es posible si la función que está integrada continúa.

Si se integra una función discontinua, entonces la integral no es diferenciable. Por ejemplo: [x] función.

Answer 3

No. El teorema fundamental del cálculo lo descarta.