Si x ^ 198 + 1 / x ^ 198 = 9, ¿cuál es el valor de x + 1 / x? ¿Se puede resolver esto?

Answer 1

[matemáticas] x ^ {198} + \ frac {1} {x ^ {198}} = 9 \ mid \ cdot x ^ {198} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ left (x ^ {198} \ right) ^ 2 + 1 = 9x ^ {198} \ mid \ text {let y} = x ^ {198} [/ math]
[matemáticas] y ^ 2 + 1 = 9 años \ mediados de -9 años [/ matemáticas]
[matemática] y ^ 2-9y + 1 = 0 \ mid \ text {completar el cuadrado} [/ math]
[matemática] \ left (y- \ frac {9} {2} \ right) ^ 2- \ frac {81} {4} + 1 = 0 \ mid – \ left (1- \ frac {81} {4} \ right) [/ math]
[matemática] \ izquierda (y- \ frac {9} {2} \ derecha) ^ 2 = \ frac {77} {4} \ mid \ sqrt {} [/ matemática]
[matemáticas] y- \ frac {9} {2} = \ pm \ frac {\ sqrt {77}} {2} \ mid + \ frac {9} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ frac {9 \ pm \ sqrt {77}} {2} \ mid \ text {recuerde que y} = x ^ {198} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ {198} = \ frac {9 \ pm \ sqrt {77}} {2} \ mid \ sqrt [198] {} [/ matemáticas] (ninguna de las soluciones es negativa, por lo que la raíz 198 es un valor real en ambos casos)
[matemáticas] x = \ pm \ sqrt [198] {\ frac {9 \ pm \ sqrt {77}} {2}} [/ matemáticas] (como con todas las ecuaciones de la forma [matemáticas] a ^ {2b} = z \ mid b \ in \ mathbb N ^ 1 [/ math] tanto [math] z = \ sqrt [2b] {a} [/ math] como [math] z = – \ sqrt [2b] {a} [/ math] son ​​soluciones válidas porque [math] \ left (\ sqrt [2b] {a} \ right) ^ {2b} = \ left (- \ sqrt [2b] {a} \ right) ^ {2b} = a [/ matemáticas].)
[matemáticas] x + \ frac {1} {x} = \ pm \ left (\ sqrt [198] {\ frac {2} {9 \ pm \ sqrt {77}}} + \ sqrt [198] {\ frac { 9 \ pm \ sqrt {77}} {2}} \ approxeq 2.0001217405 \ lor 2.0001217406 \ right) [/ math]
Notas: normalmente los polinomios con potencias superiores a 4 no pueden resolverse de manera general, pero en casos como este puede sustituirse y resolver un problema bastante fácil. Los valores absolutos de los resultados están tan separados que Wolfram-Alpha los considera iguales y la diferencia en el último dígito realmente podría ser un error de redondeo de mi calculadora (pero eso [matemáticas] \ sqrt [198] {\ frac {2} {9+ \ sqrt {77}}} + \ sqrt [198] {\ frac {9+ \ sqrt {77}} {2}} = \ sqrt [198] {\ frac {2} {9- \ sqrt {77}}} + \ sqrt [198] {\ frac {9- \ sqrt {77}} {2}} [/ math] todavía se siente mal, así que no estoy seguro), x es un número irracional, así que [ math] x = \ ldots, x + \ frac {1} {x} [/ math] es la forma más precisa de describir la solución.