¿Cuál es el valor de x en [matemáticas] | x-1 | + | x-2 | = x [/ matemáticas]?

Answer 1

Dividimos la búsqueda en tres casos, según si [math] | x-1 | [/ math] y [math] | x-2 | [/ math] son ​​positivas o negativas. Por lo tanto, obtenemos tres ecuaciones:

1. [matemáticas] (x-1) + (x-2) = x [/ matemáticas] y [matemáticas] x \ geq 2 [/ matemáticas]. La ecuación se simplifica a [matemáticas] 2x-3 = x [/ matemáticas] o [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]. Como esta solución cumple con [math] x \ geq 2 [/ math], es una solución válida
2. [matemáticas] (x-1) + (2-x) = x [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 \ geq x \ geq 1 [/ matemáticas]. La ecuación se simplifica a [matemáticas] 1 = x [/ matemáticas], o [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. Nuevamente, la solución cumple con [math] 2 \ geq x \ geq 1 [/ math], por lo que es válida.
3. [matemáticas] (1-x) + (2-x) = x [/ matemáticas] y [matemáticas] x \ leq 1 [/ matemáticas]. Ahora la ecuación se simplifica a [matemáticas] 3-2x = x [/ matemáticas], o [matemáticas] 3 = 3x [/ matemáticas], o [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. Nuevamente, la solución es válida, pero es la misma que en la parte (2), por lo que no es nueva.

Combinando los tres casos, vemos que hay 2 soluciones: [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas].

Answer 2

Tiene muchas respuestas analíticas hermosas a su pregunta. Sin embargo, podemos graficarlo :). Mira, lo que obtengo:

Esto está hecho con Desmos, pero puedes usar otra cosa. Simplemente establezca y igual al lado derecho de la ecuación como primera fórmula, a la izquierda como segundo y busque los puntos comunes. Aquí tenemos x = 1 yx = 3.

Answer 3

Lo complicado con el valor absoluto es que necesita reescribir lo que está dentro del valor absoluto por separado dependiendo del signo dentro.

Por ejemplo, si tiene la ecuación [matemáticas] | x | = 3 [/ matemáticas], lo separarías en dos casos; [matemáticas] x \ geq 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x <0 [/ matemáticas]. Para [matemática] x \ geq 0 [/ matemática], la ecuación es equivalente a [matemática] x = 3 [/ matemática] y para [matemática] x <0 [/ matemática], es equivalente a [matemática] -x = 3 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = -3. [/matemáticas]

De manera similar para [math] | x-1 | [/ math], necesitamos ver tanto [math] x-1 \ geq 0 [/ math] o [math] x \ geq 1 [/ math] y [math ] x <1 [/ matemáticas].

Con la ecuación dada

[matemáticas] | x-1 | + | x-2 | = x [/ matemáticas],

necesitamos separarnos en tres intervalos; [matemáticas] x <1 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 \ leq x <2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x \ geq 2. [/ matemáticas]

Primero veamos el intervalo [matemáticas] x <1 [/ matemáticas]. Ambos valores absolutos darán un valor negativo, por lo que debemos revertir los signos de los términos en su interior. Para [matemáticas] x <1 [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] 1 – x + 2-x = x [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 – 2x = x [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 = 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. Como esto está fuera de nuestro intervalo, esta no es una solución válida.

En segundo lugar, veamos [matemáticas] 1 \ leq x <2 [/ matemáticas]. Ahora solo tenemos que voltear el signo al eliminar el segundo valor absoluto, por lo que

[matemáticas] x – 1 + 2 – x = x [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = x [/ matemáticas].

Aquí está dentro de nuestro intervalo, por lo que nuestra primera solución es [matemáticas] x_1 = 1 [/ matemáticas].

Veamos el último y tercer intervalo, [math] x \ geq 2. [/ math] Ahora el interior de ambos valores absolutos es positivo en este intervalo. Entonces tenemos

[matemáticas] x – 1 + x – 2 = x [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x – 3 = x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3. [/ matemáticas]

Entonces nuestra segunda solución es [matemáticas] x_2 = 3 [/ matemáticas].

Las dos soluciones a esta ecuación son [matemáticas] x_1 = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 = 3 [/ matemáticas].