¿Cómo se evalúa el límite [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ displaystyle \ int_0 ^ 1 (x ^ 2 + 1) \ dfrac {ne ^ x + xe ^ {- x}} {n + x} {d} x [/ matemáticas]?

Answer 1

A la luz de las respuestas ya proporcionadas, se debe tener en cuenta que el límite se puede calcular dentro de la integral:

[matemáticas] {\ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ left (x ^ 2 + 1 \ right) \ left (\ lim_ {n \ to \ infty} \, \ frac {ne ^ x + e ^ {- x} x} {n + x} \ right) \, dx} [/ math]

El límite no produce una respuesta finita con la regla de L’Hospital, por lo que el límite dado se puede calcular de la siguiente manera:

[matemáticas] {\ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \, \ frac {ne ^ x + e ^ {- x} x} {n + x} = \ lim_ {n \ to \ infty} \, \ displaystyle {\ frac {e ^ x + \ frac {e ^ {- x} x} {n}} {\ frac {x} {n} +1}} = e ^ x} [/ math]

Ahora se debe resolver la siguiente integral:

[matemáticas] {\ displaystyle I (0,1) = \ int_0 ^ 1 \ left (x ^ 2 + 1 \ right) e ^ x \, dx} [/ math]

Esta integral se puede resolver aplicando la integración por partes dos veces. La solución obtenida es:

[matemáticas] {\ displaystyle I (0,1) = e ^ x (x ^ 2−2x + 3) | _0 ^ 1 = 2e-3}, [/ matemáticas]

o numéricamente:

[matemáticas] I (0,1) \ aprox 2.436563656918090470720575 [/ matemáticas]

El método anterior se puede implementar directamente con Mathematica y la respuesta se obtiene escribiendo el código:

  Integrar [(x ^ 2 + 1) *
   Límite [(n * E ^ x + x / E ^ x) / (n + x), n -> Infinito], {x, 0, 1}]

El límite también se puede calcular fuera de la integral:

[matemáticas] {\ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \, \ int_0 ^ 1 \ frac {\ left (x ^ 2 + 1 \ right) \ left (ne ^ x + e ^ {- x} x \ derecha)} {n + x} \, dx} [/ math]

Esto se puede hacer con Mathematica escribiendo:

  Límite [Integrar [(x ^ 2 + 1) * ((n * E ^ x + x / E ^ x) / (n + x)), {x, 0, 1}], 
  n -> Infinito]

A continuación se muestra una representación visual de la integral en forma de sumas de Riemann (de Wolfram Alpha):

Answer 2

Simplemente puede tirar del límite dentro de la integral en este caso (esto no siempre está permitido, pero en este caso podemos hacerlo ya que la convergencia del integrando es uniforme). En función de [math] n [/ math], como [math] n \ to \ infty [/ math], el integrando es solo

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) e ^ x [/ matemáticas]

Luego puede realizar la integral sobre [matemática] x [/ matemática] al diferenciar bajo la integral

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 dx (x ^ 2 + 1) e ^ x = \ left (\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial \ alpha ^ 2} +1 \ right) \ int_0 ^ 1 dx e ^ {\ alpha x} \ bigg | _ {\ alpha \ a 1} [/ math]

que da [matemáticas] 2e-3 [/ matemáticas]. Podemos verificar que esto sea correcto conectando la integral en Mathematica, que da un desorden de funciones integrales exponenciales, pero tomando el límite da [math] 2e-3 [/ math], como se esperaba.

Answer 3

Tomando límite dentro de la integración

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ left (x ^ 2 + 1 \ right) \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {ne ^ x + xe ^ {- x}} {n + x } \ right) \, dx [/ math]

como el límite tiene la forma [math] \ dfrac {\ infty} {\ infty} [/ math], aplicando la regla L’Hospital, obtenemos

[matemáticas] \ boxed {\ dfrac {e ^ x} {1}} \ tag * {} [/ math]

entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ left (x ^ 2 + 1 \ right) \ dfrac {e ^ x} {1} \, dx = e ^ x (x ^ 2−2x + 2) | _0 ^ 1 + (e-1) = (e-2) + (e-1) = (2e-3) [/ matemáticas]

[matemática] \ enorme \ texto {VM} [/ matemática] [matemática] [/ matemática]