¿Por qué se dice que una función diferenciable cambia el signo de derivada durante máximos y mínimos?

Answer 1

Respuesta directa:

La función está disminuyendo (derivada -ve) en un lado y aumentando (derivada + ve) en el otro lado o viceversa, según sea el caso. Por lo tanto, la derivada debe cambiar de signo debido a la continuidad (ya que es diferenciable) de la función

Una respuesta más explicativa:

Para cualquier función diferenciable, la derivada representa la tasa de cambio de la variable dependiente wrt la variable independiente. Ahora para un pt de Maxima o Minima esta derivada en el pt es cero. La razón es la continuidad de la función. Como la función es continua, en las proximidades del punto estacionario la función podría aumentar y disminuir (para Maxima y Minima respectivamente) o viceversa en lados alternos del punto. De acuerdo con el caso particular de Maxima, la función hacia la izquierda del pt tiene una derivada + ve (es decir, un incremento en la variable dependiente wrt la variable independiente) disminuyendo lentamente en magnitud mientras que la función hacia la derecha del pt tiene un -ve (es decir, un decremento en la variable independiente wrt al dependiente variable). Ahora que la función es continua (ya que es diferenciable), las derivadas (tasa de cambio) también deben alcanzar un valor común, es decir, 0. Por lo tanto, la derivada se puede ver cambiando signos de + ve a – ve. Argumentos similares pueden aplicarse al caso de Minima para llegar a la misma conclusión.