¿Existe una función biyectiva entre [math] \ mathbb {R} [/ math] y el círculo unitario [math] \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ 2 \ mid x ^ 2 + y ^ 2 = 1 \} [/ matemáticas]?

Answer 1

Ciertamente existe, al menos si asumes el axioma de elección. Primero, afirmo que existe una biyección entre todo el plano [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] y el interior del disco. Un ejemplo de tal biyección está dado por [matemáticas] f (x, y) = (x, y) / (1+ \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}) [/ matemáticas]. Ahora, si podemos mostrar que existe una biyección entre [math] \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], habremos terminado. Aquí es donde entra el axioma de elección.

La observación clave es que [math] \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] son ​​ambos espacios vectoriales sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math] cuyo las dimensiones tienen la misma cardinalidad (infinitamente infinita) (creo que el axioma de elección es necesario para este paso, pero no estoy totalmente seguro). Por lo tanto, existe una biyección entre elementos básicos que puede extenderse a un mapa lineal biyectivo [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Sin embargo, tenga en cuenta que dicho mapa sería extremadamente discontinuo. No hay forma posible de exhibir una biyección continua porque estos conjuntos son muy diferentes topológicamente.

Editar: Esta es una respuesta a la pregunta que se me apareció por primera vez, que preguntaba sobre la existencia de una biyección entre el interior del disco de la unidad y [math] \ mathbb {R} [/ math]. Aparentemente, puedes cambiar la pregunta a una completamente diferente después de que la gente ya la haya respondido.

Answer 2

Hay muchos.

Por ejemplo,

Deje [math] f (x) = 2 \ arctan x [/ math], [math] g (x) = (\ cos x, \ sin x) [/ math], luego [math] g \ circ f [/ math] es una función 1 a 1 de [math] \ mathbb R [/ math] a [math] S ^ 1 [/ math]. Sin embargo, esto no es una biyección, porque [math] (- 1,0) [/ math] no tiene preimagen.

Pero ahora, definamos [math] b \ colon \ mathbb R \ to S ^ 1 [/ math], como

[matemáticas] b (x) = \ begin {cases} (- 1,0), & x = 0 \\ (g \ circ f) (x-1), & x \ in \ mathbb Z _ {> 0} \\ ( g \ circ f) (x), & \ text {de lo contrario} \ end {cases} [/ math]

Esta función es biyectiva. Esta ficción no es continua. [math] S_1 [/ math] es un conjunto compacto mientras que [math] \ mathbb R [/ math] no lo es. Tienen diferentes propiedades topológicas (utilizando la topología habitual), por lo que no puede haber una biyección continua. Pero uno discontinuo es ciertamente posible como se muestra.

Answer 3

[matemática] \ R [/ matemática] es un conjunto abierto ilimitado, el círculo unitario está limitado, esto no es probable que funcione, podríamos tener que considerar [matemática] \ R \ cup \ {- \ infty \} [/ matemáticas], en su lugar.

Ahora, debería ser posible encontrarnos una biyección de buen comportamiento. Sugeriría echar un vistazo a algo simple, como [matemáticas] e ^ {it} \ leftrightarrow \ frac {1} {t (t- \ frac {\ pi} {2})} [/ math], a Empezar con.