¿Cómo encuentra la suma de todos los valores integrales de un perteneciente a (-10, 10) de modo que una gráfica de la función f (x) = || x-2 | -a | -3 tiene exactamente 3 x intersecciones?

Answer 1

¿Cómo encuentra la suma de todos los valores integrales de un perteneciente a (-10, 10) de modo que una gráfica de la función f (x) = || x-2 | -a | -3 tiene exactamente 3 x intersecciones?

Para tener exactamente 3 intercepciones [matemáticas] x [/ matemáticas], debe haber 3 puntos V (o V invertidos) donde [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] cambia de dirección, y uno de ellos tiene que cambiar la dirección justo en El eje x.

Si a es negativo o cero, solo hay un punto V, en [matemáticas] x = 2. [/ Matemáticas]

Mientras a sea positivo, hay 3 puntos V, en [matemáticas] x = 2, x = 2-a, [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 2 + a. [/ Matemáticas] El valor de [ matemáticas] f (x) [/ matemáticas] en cada uno de estos puntos V es el siguiente:

[matemáticas] \ qquad f (2-a) = -3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad f (2) = a-3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad f (2 + a) = -3 [/ matemáticas]

Entonces, solo el punto V central se puede colocar exactamente en el eje x, y eso ocurre solo cuando [math] a = 3. [/ Math]

Para todos los valores positivos de [matemática] a, [/ matemática] los valores de [matemática] f (x) [/ matemática] en [matemática] x = 2-a-3, x = 2, [/ matemática] y [ matemática] x = 2 + a + 3 [/ matemática] vienen dados por:

[matemáticas] \ qquad f (2-a-3) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad f (2) = a-3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad f (2 + a + 3) = 0 [/ matemáticas]

Entonces [math] f (x) [/ math] intercepta el eje [math] x [/ math] exactamente [math] 3 [/ math] veces si [math] a = 3, [/ math] y para ningún otro valor de [matemáticas] a [/ matemáticas]

Answer 2

Este es realmente un problema bastante simple cuando sabes cómo hacerlo, por lo que no estropearé la respuesta numérica aquí. Diré que, suponiendo que no haya cometido un error estúpido, solo hay un valor a que satisface lo anterior, incluso si expande el rango a toda la línea de números reales .

En realidad, solo hay una cosa que debes tener en cuenta para resolver esto, y es que | y | = c tiene soluciones y = c y y = – c SI c no es negativo e igualmente importante, NO tiene soluciones si c es negativo.

Por lo tanto, cada signo de valor absoluto anidado potencialmente duplica el número de raíces. Una ecuación lineal sin valores absolutos normalmente tiene solo una raíz, por lo tanto, tiene como máximo cuatro raíces. Al darse cuenta de esto, es fácil ver que para obtener más de dos raíces, cada “rama” del valor absoluto externo debe producir al menos una solución para la expresión del valor absoluto “interno”. Conociendo el hecho sobre los números negativos anteriores, esto coloca una desigualdad en el valor de a .

Luego, puede resolver las cuatro raíces en términos de a siguiendo todas las “ramas”. Dos de estos deben ser iguales, y a partir de entonces solo equivale a probar todos los pares posibles por “fuerza bruta”. Algunos pares nunca son necesariamente iguales, y algunos solo son iguales para valores de a que violan la desigualdad conocida desde arriba. Al eliminarlos, solo queda un par, y debe descubrir que esto requiere que la desigualdad se convierta en una igualdad.