Deje [math] f (x) = x [x] \, \, \, \, ———- (1) [/ math]
[matemática] [x] [/ matemática] es la función entera más grande.
Deje [math] y = x – [x] \, \, \, \, ———- (2) [/ math]
Como podemos ver claramente que la función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] es continua en cualquier número real entre dos enteros consecutivos.
- ¿Cómo se evalúa el límite [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ displaystyle \ int_0 ^ 1 (x ^ 2 + 1) \ dfrac {ne ^ x + xe ^ {- x}} {n + x} {d} x [/ matemáticas]?
- ¿Por qué se dice que una función diferenciable cambia el signo de derivada durante máximos y mínimos?
- ¿Cuál es el dominio de esta función: [matemáticas] y = \ frac {2+ | x |} {| 2x ^ 2-1 |} [/ matemáticas]?
- ¿Qué se entiende por [[x]]?
- ¿Existe una función biyectiva entre [math] \ mathbb {R} [/ math] y el círculo unitario [math] \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ 2 \ mid x ^ 2 + y ^ 2 = 1 \} [/ matemáticas]?
Ahora, necesitamos verificar la continuidad en los enteros. Deje que [math] c [/ math] sea cualquier número entero.
Primero verifiquemos el límite izquierdo de la función [matemática] f (x) [/ matemática] en [matemática] c [/ matemática].
Como [matemática] x <c [/ matemática], entonces [matemática] [x] = c – 1 [/ matemática]
Y como [matemáticas] x \ a c ^ {-} \ implica y \ a 1 ^ {-} [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] \ lim_ {x \ to c ^ {-}} f (x) = \ lim_ {x \ to c ^ {-}} x [x] = \ lim_ {y \ to 1 ^ {-} } (c – 1 + y) (c -1) = c (c -1) [/ matemáticas]
Del mismo modo, busquemos el límite correcto de la función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] en [matemáticas] c [/ matemáticas]
como en este caso [matemática] x> c [/ matemática], entonces [matemática] [x] = c [/ matemática]
Y como [math] x \ to c ^ {+} \ implica y \ to 0 ^ {+} [/ math]
[matemáticas] \ lim_ {x \ to c ^ {+}} f (x) = \ lim_ {x \ to c ^ {+}} x [x] = \ lim_ {y \ to 0 ^ {+}} ( c + y) c = c ^ 2 [/ matemáticas]
Como [math] \ lim_ {x \ to c ^ {+}} f (x) \ neq \ lim_ {x \ to c ^ {-}} f (x) [/ math]
Entonces, [math] f (x) [/ math] no es continuo en los enteros.