¿Por qué las identidades trigonométricas, [matemáticas] \ cos ^ 2 (x) + \ sin ^ 2 (x) = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 + \ tan ^ 2 (x) = \ seg ^ 2 (x ) [/ math], considerado como “Identidades pitagóricas”?

Answer 1

Se llaman así porque cada uno de estos puede representarse en términos de sumas de cuadrados a los lados de un triángulo rectángulo. Como tales, son efectivamente versiones del teorema de Pitágoras, aplicadas específicamente a funciones de ángulos.

Las funciones seno y coseno se definen como relaciones de lados de triángulos. Entonces:

El seno se define como opuesto / hipotenusa; coseno se define como adyacente / hipotenusa. Entonces, tomando la primera identidad que mencionas:

[matemáticas] \ frac {\ text {opuesto} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} + \ frac {\ text {adyacente} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1 [/ math]

Simplemente multiplique ambos lados por el cuadrado de la hipotenusa (¿ve cómo suena Pitágoras?) Y obtendrá

[matemática] \ text {opuesto} ^ 2 + \ text {adyacente} ^ 2 = \ text {hipotenusa} ^ 2 [/ matemática]

¡Lo cual es simplemente una reformulación del teorema de Pitágoras!

La segunda identidad responde al mismo tipo de reformulación en términos de los tres lados del triángulo: ¡lo dejaré como algo con lo que usted puede jugar!

Answer 2

En un triángulo rectángulo con unidad de hipotenusa, las longitudes de los otros dos lados son precisamente el seno del ángulo (no recto) opuesto a ellos y el coseno del ángulo (no recto) adyacente a ellos. Por lo tanto, la observación de que el cuadrado del seno de uno de esos ángulos más el cuadrado del coseno de ese mismo ángulo siempre es igual a uno es simplemente una declaración del Teorema de Pitágoras (que la suma de los cuadrados de los lados derechos de un derecho triángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa). Por lo tanto, se conoce como una identidad pitagórica.

La segunda de esas identidades se sigue inmediatamente de la primera dividiendo entre [math] \ sin ^ 2 (x) [/ math].

Tenga en cuenta que no tenemos ninguna razón para pensar que Pitágoras trabajó con conceptos como “seno” o “coseno”. De hecho, creemos que el reconocimiento del hecho de que la magnitud de un ángulo estaba asociada con una relación fija entre los lados de un triángulo rectángulo que incluía este ángulo no surgió en las matemáticas griegas hasta alrededor del siglo III a. C. Existe alguna evidencia de que los babilonios clasificaron los ángulos por las proporciones de los lados en triángulos rectángulos que contienen los ángulos, pero los babilonios no parecen haber tenido una noción de la magnitud de un ángulo per se . Así que la “trigonometría” tal como la conocemos hoy fue un desarrollo posterior.

Answer 3

Se llaman identidades pitagóricas porque se derivan del teorema de Pitágoras.

Considere el siguiente triángulo de ángulo recto

Los dos lados del triángulo rectángulo pueden representarse mediante la siguiente relación.

[matemáticas] \ displaystyle c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 \ tag * {} [/ matemáticas]

1. Dividiendo [matemática] c ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle 1 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

Desde nuestro triángulo sabemos que la relación es,

[matemáticas] \ displaystyle \ sin \ theta = \ frac {b} {c} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ cos \ theta = \ frac {a} {c} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 1 = \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

2. Dividiendo por una [matemática] ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {c ^ 2} {a ^ 2} = 1 + \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

Recordar

[matemáticas] \ displaystyle \ cos \ theta = \ frac {a} {c} \ iff \ sec \ theta = \ frac {c} {a} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ tan \ theta = \ frac {b} {a} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto \ sec ^ 2 \ theta = 1 + \ tan ^ 2 \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

3. Dividiendo por b [matemáticas] ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {c ^ 2} {b ^ 2} = 1 + \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

De la foto

[matemáticas] \ displaystyle \ tan \ theta = \ frac {b} {a} \ iff \ cot \ theta = \ frac {a} {b} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin \ theta = \ frac {b} {c} \ iff \ csc \ theta = \ frac {c} {b} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto \ csc ^ 2 \ theta = 1 + \ cot ^ 2 \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]