Supongamos que [matemáticas] a, b, c, d [/ matemáticas] en esta pregunta son enteros positivos, de lo contrario la respuesta es trivial.
Se puede demostrar que si
[matemáticas] a = 3n ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 2a-3n + 1 [/ matemáticas]
- ¿Cómo se prueba la identidad [math] \ sin (\ pi – \ alpha) = \ sin (\ alpha) [/ math]?
- ¿Es esta una prueba válida de por qué un n-gon regular siempre tiene n líneas de simetría?
- ¿Cómo demuestras que [math] \ tan \ theta – \ sin \ theta \ cos \ theta = \ sin ^ 2 \ theta \ tan \ theta [/ math]?
- Hay 6 papeles sobre la mesa. Puedes tomar cualquiera de ellos y cortarlos en 6 pedazos. ¿Es posible que haya 2017 papeles sobre la mesa?
- ¿Cómo usarías la prueba por inducción para probar [matemáticas] n> 6 \ Rightarrow n! \ Geq3 ^ n [/ matemáticas]?
[matemáticas] c = 9n ^ 3-b [/ matemáticas]
para algún número entero positivo [matemáticas] n [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = (c + 1) ^ 3. [/ matemáticas]
Para [matemáticas] n = 1,2,3, \ ldots [/ matemáticas], el esquema anterior da:
[matemáticas] 3 ^ 3 + 4 ^ 3 + 5 ^ 3 = 6 ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 12 ^ 3 + 19 ^ 3 + 53 ^ 3 = 54 ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 27 ^ 3 + 46 ^ 3 + 197 ^ 3 = 198 ^ 3 [/ matemáticas]
etc.
Esto fue descubierto por uno de los dos matemáticos japoneses Gokai Ampon o Shiraishi Chōchū . Este último escribió un tratado en 1826 llamado Shamei Sampu (traducción: Sacred Mathematics ) que incluía el interesante resultado anterior. Este resultado fue atribuido a Gokai Ampon en este tratado; Sin embargo, nadie sabe si esto se hizo por respeto a Gokai o si Shiraishi realmente tuvo la idea de Gokai.
Lo que importa es que esta relación existe y que funciona, lo que demuestra que hay infinitos enteros positivos [matemáticas] a, b, c, d [/ matemáticas] para los cuales [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = d ^ 3 [/ matemáticas].
La forma de demostrar que esto funciona es simplemente mostrar que [matemáticas] (3n ^ 2) ^ 3 + (6n ^ 2-3n + 1) ^ 3 + (9n ^ 3-6n ^ 2 + 3n-1) ^ 3 [ / math] y [math] (9n ^ 3-6n ^ 2 + 3n) ^ 3 [/ math] se expanden al mismo polinomio en [math] n [/ math]. Te lo dejaré a ti.
Para terminar, Shiraishi también demostró que lo siguiente también funciona: elegir
[matemáticas] a = 3n ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 2a + 3n + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = 9n ^ 3 + b-1 [/ matemáticas]
para algún número entero [matemáticas] n [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = (c + 1) ^ 3. [/ matemáticas]
Este esquema proporciona, para [matemáticas] n = 1,2,3, \ ldots [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 ^ 3 + 10 ^ 3 + 18 ^ 3 = 19 ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 12 ^ 3 + 31 ^ 3 + 102 ^ 3 = 103 ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 27 ^ 3 + 64 ^ 3 + 306 ^ 3 = 307 ^ 3 [/ matemáticas]
etc.
(Adaptado del libro A History of Japanese Mathematics de Smith and Mikami, páginas 233–236).