Dado un conjunto de n números, ¿cómo puedo crear una función donde el número n + 1 sea el número que quiera?

Answer 1

Supongamos, por ejemplo, que un usuario de Quora pregunta “¿Qué sigue después en la secuencia 0,1,2,3, …?”.

Estoy aburrido de problemas estúpidos de secuencia, así que me gustaría decirles que el próximo número es 666.

Dado que n puntos determinan un polinomio de n-1 grado, podemos encontrar una función polinómica de cuarto grado que contiene los puntos:

(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 666).

Deje que la función polinómica sea:

[matemáticas] y = A + Bx + Cx ^ 2 + Dx ^ 3 + Ex ^ 4 [/ matemáticas]

Al conectar los puntos dados, obtenemos las ecuaciones:

[matemáticas] 0 = A [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = A + B + C + D + E [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 = A + 2B + 4C + 8D + 16E [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 = A + 3B + 9C + 27D + 81E [/ matemáticas]

[matemáticas] 666 = A + 4B + 16C + 64D + 256E [/ matemáticas].

Tenemos cinco ecuaciones, con cinco incógnitas. Resuelva este sistema con su método favorito (como la Eliminación Gaussiana, por ejemplo):

[matemáticas] A = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] B = – \ frac {329} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] C = \ frac {3641} {12} [/ matemáticas]

[matemáticas] D = – \ frac {331} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] E = \ frac {331} {12} [/ matemáticas]

Entonces el polinomio es:

[matemáticas] – \ frac {329} {2} x + \ frac {3641} {12} x ^ 2- \ frac {331} {2} x ^ 3 + \ frac {331} {12} x ^ 4 [ /matemáticas].

Ahora estás listo para dar una respuesta sarcástica e inútil:

Respuesta : La secuencia 0,1,2,3, … se obtiene al poner los números naturales en

[matemáticas] \ displaystyle – \ frac {329} {2} x + \ frac {3641} {12} x ^ 2- \ frac {331} {2} x ^ 3 + \ frac {331} {12} x ^ 4. [/ Matemáticas]

El siguiente número es 666 .

Aquí hay un gráfico de la función, que muestra los valores en x = 0,1,2,3.

Una versión reducida muestra el punto en x = 4

Answer 2

Dado un conjunto de n números [math] a_n [/ math] hay un polinomio único de orden [math] n-1 [/ math] tal que [math] p (n) = a_n [/ math]. Este polinomio está dado por

[matemáticas] P (x) = \ sum ^ {n} _ {k = 1} a_ {k} \ prod_ {j \ neq k} \ frac {xj} {kj} [/ math].

De esta forma, si se le dan los valores de [math] a_ {n} [/ math] y desea un [math] a_ {n + 1} [/ math] específico, simplemente construya el polinomio correspondiente de orden [math] n [/matemáticas].

Answer 3

Estoy de acuerdo con las otras respuestas en que la pregunta está un poco vagamente redactada. Parece estar pidiendo una forma de encontrar una función que coincida con los valores dados para un grupo de argumentos dados [math] n [/ math], pero es tener libertad para tener cualquier valor que desee en algún otro argumento. No está del todo claro si desea especificar otro argumento, u otro valor para algún argumento adicional dado, o un nuevo argumento con un nuevo valor, pero en realidad no modifica la respuesta.

Haré un punto fundamental que las otras respuestas han omitido hasta ahora.

Es posible que le resulte difícil fabricar una expresión ordenada que capture su función. La única barra real es si intenta darle a la función valores diferentes para el mismo argumento (s); una función no puede hacer eso (es decir, algo que hace eso no es una función).

Si todos los números pertenecen a un campo, puede usar la interpolación lagrangiana para hacer coincidir una colección finita de pares de argumentos / valores específicos con un polinomio.

En cualquier caso, sin embargo, una función no tiene que estar definida por una expresión en sus argumentos que implique algún tipo de cálculo. Una función simplemente asocia posibles valores de dominio con un valor de codominio cada uno, esencialmente como una tabla de búsqueda, aunque no necesariamente finita. Una respuesta estricta a su pregunta es “¡simplemente hágalo!”. Elija miembros de su dominio a los que aún no se les haya asignado un valor de función y asígnelos a los miembros del codominio que desee. El único inconveniente es que debe, de una forma u otra, definir el valor de la función (únicamente) para todos los miembros del dominio. Hasta que lo hayas hecho, no tienes una función.

Estrictamente, necesita decir cuáles son el dominio y el codominio. Sin embargo, siempre puede cambiar de opinión y elegir otras nuevas, siempre que mantenga los valores dados funcionando según lo prescrito.

Ahora que lo pienso, hay otra cosa que no puedes hacer, que posiblemente tengas en mente. Del mismo modo que debe definir la función en todo el dominio, “lo que quiera” solo se puede especificar de una vez por todas para cualquier argumento. Intentar cambiar el valor de una función una vez definida es, en principio, imposible; solo tienes una función diferente. Como una función aún no definida no es una función, todas las funciones son inmutables.

Answer 4

Podríamos usar el esquema de interpolación recursiva de Neville. Como entrada podríamos establecer [math] f_i = i [/ math], usando un valor de función arbitrario.

[matemáticas] \ displaystyle p_ {n + 1} (x, f_ {n + 1}) = \ frac {f_ {n + 1} – p_n (x)} {n + 1 – x} [/ matemáticas]