¿Cómo demuestra que el límite del producto de dos funciones es igual al límite de cada función multiplicado entre sí? (Leer comentarios)

Answer 1

Teorema: If [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = L_f [/ math] y [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} g (x) = L_g [/ math] entonces [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) g (x) = L_fL_g [/ math].

Prueba:

Primero, afirmo que si podemos demostrar que el teorema es verdadero para el caso especial de que [matemática] L_f = L_g = 0 [/ matemática] entonces inmediatamente se deduciría que debe ser cierto en general.

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Para ver por qué, considere los límites:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ left (f (x) -L_f \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ left (g (x) -L_g \ right) [/ math]

Claramente, ambos límites deben ser cero.

Luego, por el caso especial (suponiendo que podamos probarlo), se deduce que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ left (f (x) -L_f \ right) \ left (g (x) -L_g \ right) = 0 [/ math]

Pero

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ left (f (x) -L_f \ right) \ left (g (x) -L_g \ right) = \ lim_ {x \ to a} \ left (f (x) g (x) -L_fg (x) -L_gf (x) + L_fL_g \ right) [/ math]

Suponiendo que ha demostrado que los límites de sumas son sumas de límites y que el límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función, se deduce que:

[matemáticas] 0 = \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) g (x) -L_f \ lim_ {x \ to a} g (x) -L_g \ lim_ {x \ to a} f (x ) + L_fL_g [/ math]

[matemáticas] 0 = \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} f (x) g (x) -L_fL_g-L_gL_f + L_fL_g [/ math]

[matemáticas] 0 = \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} f (x) g (x) -L_fL_g [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} f (x) g (x) = L_fL_g [/ matemáticas]

Y podemos concluir que el caso general también debe ser cierto.

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Entonces vemos que todo lo que debemos probar es el caso especial cuando los límites son ambos cero:

Lema: Si [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = 0 [/ math] y [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} g (x) = 0 [/ math] entonces [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} f (x) g (x) = 0 [/ matemáticas].

Prueba: Intuitivamente, debe quedar claro por qué este lema debe ser cierto. Tenemos dos funciones que pueden hacerse arbitrariamente pequeñas en valor absoluto en el vecindario de [math] a [/ math] por lo que su producto también debe poder hacerse arbitrariamente pequeño en valor absoluto en ese vecindario. Aquí está la prueba usando la definición [math] \ epsilon- \ delta [/ math].

Elija [math] \ epsilon \ in (0,1) [/ math]. Entonces existen [math] \ delta_1, \ delta_2 [/ math] positivas de tal manera que si [math] | xa | <\ delta_1 [/ math] entonces [math] | f (x) | <\ epsilon [/ math] y si [math] | xa | <\ delta_2 [/ math] entonces [math] | g (x) | <\ epsilon [/ math]. Elija [math] \ delta = \ text {min} (\ delta_1, \ delta_2) [/ math]. Entonces, para [matemáticas] | xa | <\ delta [/ matemáticas] tanto [matemáticas] | f (x) | <\ epsilon [/ matemáticas] como [matemáticas] | g (x) | <\ epsilón [/ matemáticas] así se deduce que [math] | f (x) || g (x) | <\ epsilon ^ 2 [/ math] lo que implica que [math] | f (x) g (x) | <\ epsilon [/ math] . Esto completa la demostración del lema.

Answer 2

Llamemos a una función ‘infinitamente pequeña’ si [math] \ lim_ {x \ to a} f (x) = 0 [/ math].

Es obvio que [math] \ exist \ lim_ {x \ to a} f (x) = a \ Leftrightarrow f (x) = a + \ alpha (x) [/ math] donde [math] \ alpha (x) [/ matemáticas] es infinitamente pequeño. También es obvio que la suma de dos funciones infinitamente pequeñas es una vez más infinitamente pequeña.

Llamemos a una función ‘localmente acotada’ cerca de [matemáticas] x = a [/ matemáticas] si [matemáticas] \ existe M, \ delta \ gt 0 | f (x) | \ lt M, 0 \ lt | xa | \ lt \ delta [/ matemáticas].

Es obvio que [math] \ exist \ lim_ {x \ to a} f (x) \ Rightarrow f (x) [/ math] está limitado localmente cerca de a. (Tome [math] \ varepsilon = 1 [/ math] en la definición del límite).

Lema : Si la función f (x) está limitada localmente y la función g (x) es infinitamente pequeña, entonces su producto es infinitamente pequeño.

La prueba de este lema estará a continuación. Vamos a usarlo para probar el resultado principal:

La prueba de nuestro resultado:

[matemáticas] \ exist \ lim_ {x \ a a} f (x) = a, \ exist \ lim_ {x \ to a} g (x) = b \ Leftrightarrow f (x) = \ alpha (x) + a , g (x) = \ beta (x) + b [/ math] donde [math] \ alpha (x), \ beta (x) [/ math] son ​​funciones infinitamente pequeñas y, por lo tanto, están limitadas localmente.

Ahora tome [matemáticas] f (x) g (x) = (a + \ alpha (x)) (b + \ beta (x)) = ab + (a \ beta (x) + b \ alpha (x) + \ alpha ( x) \ beta (x)) = ab + \ gamma (x) [/ math]. Está claro que [math] \ gamma (x) = a \ beta (x) + b \ alpha (x) + \ alpha (x) \ beta (x) [/ math] es infinitamente pequeño ya que es una suma de 3 funciones infinitamente pequeñas. Así [matemáticas] \ existe \ lim_ {x \ a a} f (x) g (x) = ab [/ matemáticas]

La prueba del lema :

Deje que [math] M, \ delta_1 [/ math] sean las constantes de la definición ‘localmente limitada’ para f (x). Tome [math] \ forall \ varepsilon \ gt 0 [/ math]. Como [matemáticas] \ exist \ lim_ {x \ to a} g (x) = 0 \ Rightarrow \ exist \ delta_2 \ gt 0: | g (x) | \ lt \ frac {\ varepsilon} {M} \ forall x : 0 \ lt | xa | \ lt \ delta_2 [/ math]. Tome [math] \ delta = \ min \ {\ delta_1, \ delta_2 \} [/ math]. Entonces [matemáticas] \ forall x: 0 \ lt | xa | \ lt \ delta | f (x) g (x) | \ lt \ frac {\ varepsilon} {M} \ cdot M = \ varepsilon [/ math] que termina el puf.