Si [matemática] F ‘(x) = f (x) [/ matemática], ¿cómo pruebo [matemática] \ int_ {a} ^ {b} {f (x)} dx = F (b) -F ( a) [/ matemáticas]?

Answer 1

Teorema. (El teorema fundamental del cálculo)

Si [math] f [/ math] es Riemann integrable sobre [math] [a, b] [/ math] y si existe una función [math] F [/ math] diferenciable en [math] [a, b] [ / math] tal que [math] F ^ {\ prime} = f [/ math] en [math] [a, b] [/ math], entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ bf = F (b) -F (a) [/ matemáticas].

---

Prueba . Deje que [math] \ epsilon> 0 [/ math] sea arbitrario. Como [math] f [/ math] es Riemann integrable sobre [math] [a, b] [/ math], hay una partición [math] {\ mathcal P} _ {\ epsilon} = \ {x_0, x_1, x_2, \ ldots, x_n \} [/ math] de [math] [a, b] [/ math] tal que

[matemática] {\ mathcal U} \ big (f; {\ mathcal P} _ {\ epsilon} \ big) – {\ mathcal L} \ big (f; {\ mathcal P} _ {\ epsilon} \ big) <\ epsilon \ ldots (1) [/ math]

Para [math] i \ in \ {1, \ ldots, n \} [/ math], deje que [math] \ Delta x_i = x_i-x_ {i-1} [/ math]. Como [math] F [/ math] es diferenciable sobre [math] [x_ {i-1}, x_i] [/ math], existe [math] t_i \ in [x_ {i-1}, x_i] [/ matemáticas] tal que

[matemática] F (x_i) – F (x_ {i-1}) = F ^ {\ prime} (t_i) \ Delta x_i = f (t_i) \ Delta x_i [/ ​​matemática] [matemática] \ ldots (2) [/matemáticas]

para [matemáticas] i \ en \ {1, \ ldots, n \} [/ matemáticas].

Por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ nf (t_i) \ Delta x_i = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ big (F (x_i) -F (x_ {i-1}) \ grande) = F (b) -F (a) [/ matemáticas],

así que eso

[matemáticas] \ izquierda | F (b) -F (a) – \ displaystyle \ int_a ^ bf \ right | = \ left | \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ nf (t_i) \ Delta x_i – \ displaystyle \ int_a ^ bf \ right | <\ epsilon [/ math].

Como esto es válido para cada [math] \ epsilon> 0 [/ math], la prueba está completa. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Simplemente integre ambos lados de la ecuación f ‘(x) = f (x) entre a y b.

[matemáticas] \ int_a ^ b {f ‘(x) dx} = \ int_a ^ b {f (x) dx} [/ matemáticas]

Como la integración es la inversa de la diferenciación, se deduce que:
[matemáticas] \ int {f ‘(x) dx} = f (x) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ \ left | f (x) \ right | _ {a} ^ {b} = \ int_a ^ b {f (x) dx} [/ math]

[math] \ Rightarrow \ \ int_a ^ b {f (x) dx} = f (b) -f (a) [/ math]

Answer 3

Como [matemáticas] F ‘(x) = f (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {d (F (x))} {dx} = f (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica d (F (x)) = f (x) dx [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ int_a ^ bf (x) dx = \ int_a ^ bd (F (x)) = F (b) – F (a) [/ matemáticas]