¿Cuál es la forma paramétrica de una función F (x)?

Answer 1

No estoy seguro de que solo haya una forma para una función determinada, y ciertamente hay varias razones por las cuales uno preferiría encontrar una forma paramétrica, o comenzar desde una forma paramétrica en primer lugar. Algunos ejemplos.

Dado y = f (x), la variable x puede ser en sí misma una función de otra variable, como el tiempo t, o la distancia cubierta s, o el ángulo [matemática] \ theta [/ matemática]. Esto conduce, por supuesto, a una forma paramétrica de la función inicial y = f (x (t)) = [f * x] (t).

También es concebible que no exista una función explícita y (x), sino una ecuación implícita
F (x, y) = 0,
posiblemente reflejado por una relación paramétrica
x = x (t) e y = y (t).
Ejemplo de círculo :
F (x, y) == x ^ 2 + y ^ 2 – r ^ 2 = 0
En términos de ángulo t:
x = r cos t, y = r sin t

Puede notar que dibujar una curva paramétrica x = x (t), y = y (t) en el espacio (x, y) es en realidad igual a proyectar una curva en el espacio (x, y, t) sobre el (x, y ) avión.

Con tres variables consideremos el caso z = F (x, y). Generalmente, esta es una superficie 3D, de la cual F (x, y) = 0 es su intersección con el plano (x, y) como se ve arriba, es decir, la solución de una ecuación en (x, y) 😉

Ahora, en lugar de parametrizar tanto x como y con una tercera coordenada t, aquí hay otro método interesante:

Deje una coordenada constante (cst) y considere la otra como variable paramétrica t, entonces obtenemos
x = cst, y = t => F (cst, t) = 0
y = cst, x = t => F (t, cst) = 0
Estas son dos curvas (“ortogonales”) en la superficie F (x, y).
Luego, haga que los valores constantes para x y para y varíen a lo largo de los rangos del dominio estudiado: obtenemos dos familias ortogonales de curvas que escanean la superficie, o cuando se dibujan juntas, ¡ representan toda la superficie!

En lugar de aplicar este método directamente a x e y, puede ser posible, y más útil para describir la superficie, aplicarlo a coordenadas secundarias.
Por ejemplo, en el caso de la simetría rotacional:
x = u cos v, y = u sin v
u = cst, v = t => (…)
v = cst, u = t => (…)

Esto es lo que hago sistemáticamente para representar funciones complejas w = f (z), que constituyen en realidad un caso 4D, ya que hay cuatro variables reales en el juego u + iv = w, x + iy = z.
Parametrizando x e y en una “constante variable” y una coordenada paramétrica, y luego viceversa y y x, esto produce dos familias de curvas que evolucionan y, por lo tanto, visualizan toda la “superficie” compleja.

Un ejemplo para w = 1 / z (“Circle-Hyperbola”):

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Complejo QB
Visualización de wugi de funciones complejas – YouTube

Answer 2

Usualmente usamos forma paramétrica para una función multivariable, es decir, F (x, y, etc.), y parametrizamos este tipo de función expresando las variables en un parámetro común (por ejemplo, t), y la relación generalmente viene dada por otro conjunto de restricciones geométricas. Por ejemplo, si queremos estudiar el movimiento de una partícula, llamemos a la función r (x, y): = y conocemos el comportamiento de x e y wrt tiempo, t entonces podemos sustituir en términos de su respectiva dependencia t. Entonces, para una función de variable única, supongo que solo está cambiando la variable o x en otro parámetro dada la relación entre x y la nueva variable.

Answer 3

Bien, las ecuaciones paramétricas se usan generalmente para separar las variables x e y en una función para permitir que cada número real se represente como un conjunto de coordenadas en un plano cartesiano. Me enseñaron que era básicamente una ecuación compuesta donde cada variable en la ecuación ‘rectangular’ original (ye olde [matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas]) está representada por una función de una nueva variable, como [matemáticas] t [/ matemáticas], en la forma general [matemáticas] x = f (t), y = g (t), [/ matemáticas] donde [matemáticas] t [/ matemáticas] es un conjunto de números reales. Esto libera y y x, lo que permite que ambos trabajen independientemente el uno del otro, y las ecuaciones paramétricas resultantes suelen ser mucho más simples de evaluar, especialmente al calcular puntos de gráficos en una computadora y desea limitar el rango de números. En su caso, y se calcula a partir del valor entrante de x, por lo que sin saber cuál es la función [matemática] F (x) [/ matemática], puede volver a escribir su ecuación como [matemática] y = F (t) , x = t [/ matemáticas].

Algunas ecuaciones se pueden reescribir como una ecuación anidada, en la que la ecuación original se reescribe como un par anidado de funciones discretas donde la variable x se encapsula en la ecuación interna, y la ecuación interna se convierte en la función representada por t, que a su vez reescrito como una función para calcular x. Mi próximo ejemplo es una ecuación bastante fácil de desglosar en este asunto, pero siempre que pueda aislar la variable x de la ecuación interna, funcionará: [matemáticas] y = x ^ 2 + 4x +4 :: y = (x + 2) ^ 2 :: y = t ^ 2; t = x + 2, x = t-2 [/ matemáticas]

Esto también se puede revertir: tome [matemáticas] x = 2t-6, y = t ^ 2. [/ Matemáticas] En este caso, tomamos la ecuación x, la reorganizamos en términos de t, y la insertamos como el valor de t en la ecuación y. [matemáticas] x + 6 = 2t, t = x / 2 +3; y = (x / 2 +3) ^ 2, y = x ^ 2/4 + 3x +9. [/ matemática]