¿Sabemos que la integral del pecado (x ^ 2) no se puede expresar en términos de funciones elementales o simplemente no hemos podido hacerlo?

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Sabemos que no se puede hacer. De hecho, si le da una función a su solucionador integral favorito y de buena reputación (tiendo a usar Mathematica) y no puede encontrar una antiderivada elemental, entonces puede concluir que tal antiderivada no existe.

¿Por qué es esto? Dichos programas ejecutan un semi-algoritmo llamado algoritmo de Risch que toma una función elemental y devuelve una antiderivada elemental, si existe. No es realmente un algoritmo porque, como parte de su operación, tiene que verificar si algunas expresiones son iguales, y actualmente no se sabe si esto siempre se puede hacer en un tiempo finito (personalmente apostaría a que la respuesta es no, porque dos números reales computables arbitrarios, este es un problema indecidible). Sin embargo, si el semi-algoritmo tiene éxito, entonces usted está en el negocio.

Si desea comprender cómo funciona el algoritmo de Risch, debe analizar el álgebra diferencial y, en particular, el teorema de Liouville. Sin embargo, la intuición que debe tener es que si una función tiene una antideductiva que es elemental, esto impone restricciones muy pesadas sobre la función, y al estudiar derivadas, generalmente puede averiguar si esto es realmente posible o no. De hecho, puede probar que [math] \ int \ sin (x ^ 2) dx [/ math] no es elemental directamente del teorema de Liouville.