Dado que f (1) = 5, f (2) = 18, f (3) = 37 yf (4) = 62, ¿cómo encuentra una función f (x) que solo tenga coeficientes enteros y que satisfaga el criterios anteriores sin prueba y error?

Answer 1

Puede usar el cálculo de diferencias finitas para obtener uno de esos polinomios. Primero escribe los términos de la secuencia, así

[matemáticas] 5,18,37,62 [/ matemáticas]

Ahora escribe sus diferencias

[matemáticas] 13,19,25 [/ matemáticas]

Ahora escribe las segundas diferencias

[matemáticas] 6,6 [/ matemáticas]

Estos son iguales, por lo que tenemos una fórmula cuadrática. Tenemos que dividir [matemáticas] 6 [/ matemáticas] entre [matemáticas] 2 [/ matemáticas] para obtener el coeficiente [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] de [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Ahora compare la secuencia [matemática] 3x ^ 2 [/ matemática] con la dada.

[matemáticas] 3x ^ 2: 3, 12, 27, 48 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x): 5, 18, 37, 62 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {para obtener:} +2, +6, +10, +14 [/ matemáticas]

La fila ‘para obtener’ es lo que debe hacer para pasar de la secuencia superior a la secuencia inferior. Podemos ver fácilmente que ‘obtener’ sigue la fórmula [matemáticas] 4n-2 [/ matemáticas]. Poner todo junto significa

[matemáticas] f (x) = 3x ^ 2 + 4x-2 [/ matemáticas]

Por supuesto, esta no será la única solución, pero es la más simple (en el sentido de que tiene el orden más pequeño).

Answer 2

En general, si se le dan los valores de una función [matemática] y = f (x) [/ matemática] en n puntos, siempre puede generar un polinomio que cumpla este requisito.

Supongamos que sabemos que [matemáticas] f (x_1) = y_1, f (x_2) = y_2, f (x_3) = y_3, ………, f (x_n) = y_n. [/ Matemáticas]

Entonces, la función [matemática] y = f (x) [/ matemática], que tiene coeficientes enteros, que satisfacen las condiciones anteriores es [matemática] a_ {n-1} x ^ {n-1} + a_ {n-2 } x ^ {n-2} + a_ {n-3} x ^ {n-3} + ……… .. + a_1x + a_0 = y. [/ matemáticas]

Sustituyendo los valores de [math] x_i [/ ​​math] y [math] y_i [/ ​​math], obtenemos n ecuaciones en n variables, que se pueden resolver para obtener los coeficientes y el término constante.

En el caso dado, obtenemos las siguientes ecuaciones:

[matemáticas] a_0 + a_1 (1) + a_2 (1) ^ 2 + a_3 (1) ^ 3 = 5. [/ matemáticas]

[matemáticas] a_0 + a_1 (2) + a_2 (2) ^ 2 + a_3 (2) ^ 3 = 18. [/ matemáticas]

[matemáticas] a_0 + a_1 (3) + a_2 (3) ^ 2 + a_3 (3) ^ 3 = 37. [/ matemáticas]

[matemáticas] a_0 + a_1 (4) + a_2 (4) ^ 2 + a_3 (4) ^ 3 = 62. [/ matemáticas]

Una forma muy fácil de resolver este conjunto de ecuaciones simultáneas es el método de reducción de filas. Al resolver estas ecuaciones obtenemos los valores de los coeficientes como [matemática] a_0 = -2, a_1 = 4, a_2 = 3, a_3 = 0. [/ Matemática]

Entonces, la función que satisface los criterios dados es [matemática] f (x) = 3x ^ 2 + 4x – 2 [/ matemática].

Answer 3

Este tipo de preguntas se pueden responder usando secuencias

Entonces la secuencia aquí es: 5, 18, 37, 62

Primero encuentra la diferencia entre los términos

5 18 37 62

+13 luego +19 y luego +25

Nada común hasta ahora, así que encuentra la diferencia del segundo término

13 +6 = 19 +6 = 25

Por lo tanto, use la fórmula de diferencia del segundo término

a + (n-1) d1 + {[(n-1) (n-2)] / 2} d2

aquí

a – primer término

d1 – primera diferencia

d2 – segunda diferencia

Así que solo sustituye los valores y obtendrás la función

[matemáticas] = 5 + (n-1) 13 + [(n ^ 2 – 3n + 2) / 2] 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 5 + 13n – 13 + (n ^ 2 – 3n + 2) 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 13n – 8 + 3n ^ 2 – 9n + 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3n ^ 2 + 4n – 2 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] f (x) = 3n ^ 2 + 4n – 2 [/ matemáticas]

Sin prueba y error 🙂

Answer 4

Aquí hay un enfoque general que podría aplicarse para cualquier número de valores dados.

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Buscamos [math] f (x) [/ math] con coeficientes enteros tales que:

• [matemáticas] f (1) = 5 [/ matemáticas]
• [matemáticas] f (2) = 18 [/ matemáticas]
• [matemáticas] f (3) = 37 [/ matemáticas]
• [matemáticas] f (4) = 62 [/ matemáticas]

Dado que [math] f (1) = 5 [/ math] establezcamos [math] f (x) = 5 + (x-1) g (x) [/ math] para algunos [math] g (x) [ / math] con coeficientes enteros. Tenga en cuenta que cuando [math] x = 1 [/ math] el término [math] (x-1) g (x) [/ math] se convierte en cero, dejando el valor [math] 5 [/ math] según sea necesario.

Así [matemáticas] g (x) = \ dfrac {f (x) – 5} {x – 1} [/ matemáticas].

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Ahora buscamos [math] g (x) [/ math] con coeficientes enteros tales que:

• [matemática] g (2) = \ frac {f (2) – 5} {2 – 1} = \ frac {13} {1} = 13 [/ matemática]
• [matemática] g (3) = \ frac {f (3) – 5} {3 – 1} = \ frac {32} {2} = 16 [/ matemática]
• [matemáticas] g (4) = \ frac {f (4) – 5} {4 – 1} = \ frac {57} {3} = 19 [/ matemáticas]

Como [math] g (2) = 13 [/ math] establezcamos [math] g (x) = 13 + (x-2) h (x) [/ math] para algunos [math] h (x) [ / math] con coeficientes enteros. Tenga en cuenta que cuando [math] x = 2 [/ math] el término [math] (x-2) h (x) [/ math] se convierte en cero, dejando el valor [math] 13 [/ math] según sea necesario.

Así [matemáticas] h (x) = \ dfrac {g (x) – 13} {x – 2} [/ matemáticas].

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Ahora buscamos [math] h (x) [/ math] con coeficientes enteros tales que:

• [matemáticas] h (3) = \ frac {g (3) – 13} {3 – 2} = \ frac {3} {1} = 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] h (4) = \ frac {g (4) = 13} {4 – 2} = \ frac {6} {2} = 3 [/ matemáticas]

Como [math] h (3) = h (4) = 3 [/ math] simplemente establezcamos [math] h (x) = 3 [/ math]. Tenga en cuenta que si estos valores no hubieran coincidido convenientemente, podríamos haber eliminado uno más exactamente como se indicó anteriormente, pero esta conveniente simplificación nos permite terminar el proceso antes de tiempo.

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[matemáticas] h (x) = 3 [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto g (x) = 13 + (x – 2) h (x) = 13 + 3 (x – 2) = 3x + 7 [/ matemática]

[matemáticas] \ por lo tanto f (x) = 5 + (x – 1) g (x) = 5 + (x – 1) (3x + 7) = \ boxed {3x ^ 2 + 4x – 2} [/ math]