Si sen x + cos x = 2, ¿cuál es el valor de sin ^ 100 x + cos ^ 100 x?

Answer 1

[matemáticas] \ grande \ displaystyle \ star [/ matemáticas] A2A

Si [math] \ large \ displaystyle \ sin x + \ cos x = \ large \ displaystyle 2 [/ math]

El valor máximo de [math] \ large \ displaystyle \ sin x [/ math] y [math] \ large \ displaystyle \ cos x [/ math] es [math] \ large \ displaystyle 1 [/ math]

Para que esta ecuación sea verdadera, [math] \ large \ displaystyle \ sin x [/ math] y [math] \ large \ displaystyle \ cos x [/ math] tiene que ser igual a [math] 1 [/ math] para mismo [matemáticas] x [/ matemáticas]

Pero sabemos que

[math] \ large \ displaystyle \ sin x = \ large \ displaystyle 1 [/ math] en [math] \ large \ displaystyle x = \ large \ displaystyle (4n + 1) \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas] [matemáticas] \ forall n \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]

y

[math] \ large \ displaystyle \ cos x = \ large \ displaystyle 1 [/ math] en [math] \ large \ displaystyle x = \ large \ displaystyle 2n \ pi [/ math] [math] \ forall n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Por lo tanto, [math] \ large \ displaystyle \ nexists [/ math] [math] \ large \ displaystyle x [/ math] para el cual [math] \ large \ displaystyle \ sin x [/ math] y [math] \ large \ displaystyle \ cos x [/ math] es igual a [math] \ large \ displaystyle 1 [/ math] a la vez.

[math] \ large \ displaystyle \ star [/ math] Su pregunta es incorrecta.

¡Gracias!

[matemática] {\ enorme {\ enorme {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ matemática]

Answer 2

Supongamos que cuadramos tanto LHS como RHS,

(Sin (x) + cos (x)) ² = 4

Sin² (x) + cos² (x) + Sin2x = 4

1+ sin (2x) = 4

Pecado (2x) = 3/2

Esto es imposible. Por lo tanto, no existe tal x.

UN LITRO

sin (x) y cos (x) toman su extremo exactamente en los mismos puntos. También Max (sin (x)) = 1 y Max (cos (x)) = 1. Pero, cuando sin (x) = 1, cos (x) = 0 y viceversa. Por lo tanto, no existe tal x para la cual ambos están en su máximo.

Answer 3

Usando la regla de Euler, [matemáticas] e ^ {ix} = cos x + i sen x [/ matemáticas], podemos expresar [matemáticas] sen x = (e ^ {ix} – e ^ {- ix}) / 2i; cos x = (e ^ {ix} + e ^ {- ix}) / 2. [/ math]

sustituyendo en la ecuación [math] sen x + cos x = 2 [/ math] y resolviendo [math] e ^ {ix} [/ math] (resolviendo una ecuación cuadrática en [math] e ^ {ix} [/ matemáticas]), obtenemos [matemáticas] e ^ {ix} = (sqrt (2) \ pm 1) * ((1 + j) / sqrt (2)); [/ matemáticas]

Entonces, la solución es [matemáticas] x = pi / 4 – i log (sqrt (2) \ pm 1) [/ matemáticas] (ref Complejo logaritmo – Wikipedia) y sustituyendo [matemáticas] e ^ {ix} [/ matemáticas] atrás en la fórmula [math] sin x [/ math] y [math] cos x [/ math], obtenemos [math] cos x = (1 \ pm i / sqrt (2)) [/ math] y [math] sin x = (1 \ mp i / sqrt (2)) [/ matemáticas]

es posible escribir [math] cos x [/ math] y [math] sin x [/ math] en forma polar, calcular su potencia número 100 y sumarlas para terminar con la respuesta [math] 2 * (3/2 ) ^ {50} * cos (100 * arctan (1 / sqrt (2))) = 3.6089e + 08 [/ math]

En términos simples, no es posible encontrar x real como lo señalan otros, pero si permite que x sea complejo, hay una solución para esta pregunta.