Si x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 110, entonces, ¿qué es x + 1 / x?

Answer 1

Si x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 110, entonces, ¿qué es x + 1 / x?

[matemáticas] x ^ 3 + \ dfrac {1} {x ^ 3} = 110 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] x ^ 3-110 + \ dfrac {1} {x ^ 3} = 0 [/ matemáticas] , que tiene buenos factores como:

[matemáticas] ~ \\\ qquad \ underbrace {\ left (x-5 + \ dfrac {1} {x} \ right)} _ \ text {Primer factor} ~~~ \ underbrace {\ left (x ^ 2 + 5x + 24 + \ dfrac {5} {x} + \ dfrac {1} {x ^ 2} \ right)} _ \ text {Segundo factor} ~~ = ~~ 0 \\ ~ \\ ~ [/ math]

El segundo factor no tiene ceros. Para completar, explicaré cómo sé esto. La derivada del segundo factor es [math] \ dfrac {(x-1) (x + 1) (x + 2) (2x + 1)} {x ^ 3}. [/ Math] Examinando el segundo factor en cada de sus puntos críticos, vemos que los mínimos locales del segundo factor son todos positivos en [matemáticas] x = -2, [/ matemáticas] [matemáticas] x = – \ frac {1} {2}, [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. El máximo local del segundo factor en [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] también es positivo. El único otro punto crítico es [matemática] x = 0 [/ matemática] donde el segundo factor está dominado por [matemática] \ frac {1} {x ^ 2}, [/ matemática] y explota al infinito positivo desde ambos lados . Del mismo modo, como [math] x [/ math] tiende a [math] \ pm \ infty, [/ math] el segundo factor, dominado por [math] x ^ 2, [/ math] va al infinito positivo.

Entonces el primer factor debe ser cero. [matemática] (x-5 + \ frac {1} {x}) = 0 [/ matemática], entonces [matemática] \ en caja {x + \ dfrac {1} {x} = 5} [/ matemática]

Answer 2

Sea x ^ 3 = A. Entonces A + 1 / A = 110, o

A ^ 2 – 110A + 1 = 0

A1 = [110+ (110 ^ 2–4) ^ 0.5] / 2

= [110 + 12096 ^ 0,5] / 2

= [110 + 109,9818167] / 2

= 219.9818167 / 2 = 109.9909083

x1 = A1 ^ (1/3) = 109.9909083 ^ (1/3) = 4.791287847

x1 + 1 / x1 = 4.791287847 + 1 / 4.791287847 = 5.

A2 = [110- (110 ^ 2–4) ^ 0.5] / 2

= [110-12096 ^ 0,5] / 2

= [110-109.9818167] / 2

= 0.0181833 / 2 = 0.00909165

x2 = A2 ^ (1/3) = (0.00909165) ^ (1/3) = 0.208712071

x2 + 1 / x2 = 0.208712071 + 1 / 0.208712071 = 5.000001769

Por lo tanto, x + 1 / x = 5.

Verifique: x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 4.791287847 ^ 3 + 1 / 4.791287847 ^ 3 = 110.

También x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 0.208712071 ^ 3 + 1 / 0.208712071 ^ 3 = 110.0001289, (error de 0.00011716%, aceptable)

Por lo tanto, x + 1 / x = 5.

Answer 3

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