¿Es y ^ 2 = x ^ 2 una función?

Desafortunadamente, esta pregunta, por la forma en que está redactada, no tiene sentido.

No puede preguntar si algo es una función sin especificar primero de qué quiere que sea una función .

Probablemente quisiste preguntar algo en la línea de “si [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] están relacionados por la ecuación [matemática] y ^ 2 = x ^ 2 [/ matemática], es [matemática] y [/ matemática] una función de [matemática] x [/ matemática]? ”En ese caso, la respuesta es no. Esto se debe a que para cada valor de [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] puede ser [matemática] x [/ matemática] o [matemática] -x [/ matemática] ya que estos dos valores para [matemáticas] y [/ matemáticas] satisfacen la ecuación que usted dio. Para que [math] y [/ math] sea una función de [math] x [/ math], debe alcanzar uno y exactamente un valor para cada valor de [math] x [/ math] (en el dominio de [ matemáticas] y [/ matemáticas]).

Pero la respuesta hubiera resultado muy diferente si hubiera preguntado algo como: “Si [matemática] y ^ 2 = x ^ 2 [/ matemática], ¿es [matemática] y ^ 2 [/ matemática] una función de [matemática] x [/ math]? ”. En este caso, la respuesta es sí ya que para cada valor de [matemáticas] x [/ matemáticas], ahora solo hay un valor de [matemáticas] y ^ 2 [/ matemáticas] (es decir, [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] ]) que satisface tu ecuación.

¿Estoy siendo pedante aquí? Muy posiblemente. Pero siento que a veces es necesaria la pedantería.

No, no es.
Debido a que sus respuestas son las (x, y) s que satisfacen esta relación:
[matemáticas] y ^ 2 = x ^ 2 [/ matemáticas]

y es equivalente a la unión de estas dos relaciones:

  1. [matemáticas] y = \ sqrt {x ^ 2} [/ matemáticas]
  2. [matemáticas] y = – \ sqrt {x ^ 2} [/ matemáticas]

y tenemos :

  1. [matemáticas] y = x [/ matemáticas]
  2. [matemáticas] y = -x [/ matemáticas]
  3. [matemáticas] y = – (x) [/ matemáticas]
  4. [matemáticas] y = – (- x) [/ matemáticas]

ya que tenemos [math] \ sqrt {x ^ 2} [/ math] = [math] \ left \ vert x \ right \ vert [/ math]

así que para su pregunta, los puntos en el plano que se encuentran en [matemáticas] y ^ 2 = x ^ 2 [/ matemáticas] son ​​los puntos que satisfacen una de estas relaciones:

  1. [matemáticas] y = x [/ matemáticas]
  2. [matemáticas] y = -x [/ matemáticas]

y para x = 1 tenemos dos resultados para y, 1 y -1. entonces esta relación no es una función en el plano.

pero si restringimos nuestro dominio de x será; por ejemplo en el semiplano superior.

No, puede probar la gráfica de 0 = x ^ 2 – y ^ 2, utilizando la prueba de línea vertical y fallará. La misma entrada le dará más de una salida.