En la secuencia del 10 al 20 hay 4 números primos (11, 13, 17, 19)? ¿Hay algún otro conjunto contiguo de números que abarque desde un múltiplo de 10 al siguiente que contenga tantos primos? Si es así, ¿dónde, y si no, puede probarse eso?

Answer 1

Esta pregunta es similar a la conjetura de los primos gemelos: ¿hay una familia infinita de números primos a una distancia de 2? En el estado actual de las matemáticas, tales afirmaciones son muy difíciles de probar en la dirección positiva o negativa.

Sin embargo, en la práctica, tales declaraciones parecen tener comportamientos aparentemente “uniformes”. Sabemos que los números primos de tamaño N (medidos en bits, por ejemplo) representan aproximadamente una fracción 1 / N de todos los números de ese tamaño. Entonces, los primos gemelos de ese tamaño representan aproximadamente una fracción 1 / N ^ 2 de todos los números de ese tamaño, y los números que solicitó deben representar aproximadamente una fracción 1 / N ^ 4 de todos los números de ese tamaño … (como si la propiedad de ser primo es independiente en términos estadísticos)

Por ejemplo, para números en el rango N = 20, una fracción 1/160000 de los aproximadamente 1000000 números disponibles debería tener la propiedad requerida. Aproximadamente 8 de estos cuádruples se deben encontrar.

Nota: Me permite un factor constante pequeño porque el tamaño debe medirse en base e en lugar de 2.

Answer 2

Es casi seguro que hay un número infinito de tales cuádruples primos (si hay un número infinito de primos gemelos). Hay 165 menos de 10 ^ 12 (según mi cálculo). Es importante destacar que hay una propiedad necesaria para que ocurra. Los factores primos más pequeños de la serie solo pueden estar en este orden: 3, 2, p , 2, p , 2, 3, 2, p , 2, p , 2, 3. (Observe la simetría del espejo alrededor del medio 3. ) Por ejemplo:

  189 = 3 * 3 * 3 * 7
 190 = 2 * 5 * 19
 191 = 1 * 191 (P)
 192 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3
 193 = 1 * 193 (P)
 194 = 2 * 97
 195 = 3 * 5 * 13
 196 = 2 * 2 * 7 * 7
 197 = 1 * 197 (P)
 198 = 2 * 3 * 3 * 11
 199 = 1 * 199 (P)
 200 = 2 * 2 * 2 * 5 * 5
 201 = 3 * 67

Answer 3

Absolutamente sí. Los valores de 0 a 10 también contienen 4 primos (2,3,5 y 7). Si esto no era lo que esperaba, y piensa que es “trivial” o “trampa”, podría pedirle que sea más cuidadoso en su pregunta, tal vez indicando que necesita incluir números superiores a 10 o algo similar.