¿Cuál es la fórmula general para encontrar los números mínimo y máximo donde la suma de los dígitos de un número es k?

Answer 1

El máximo es fácil: simplemente haga que nuestro número se extienda lo más posible hacia la izquierda. ¿Cuántos dígitos es eso? Bueno, llegamos más lejos si cada dígito es 1. (supongo que 0 no está permitido porque la pregunta no está bien formada).

Por ejemplo, el número más alto con suma de dígitos 3 es 111. El número más alto con suma de dígitos 17 es 11,111,111,111,111,111.

Para general [math] k [/ math], este número es [math] \ sum_ {i = 0} ^ {k-1} 10 ^ {i} [/ math] que es solo una serie geométrica, por lo que obtenemos [ matemáticas] \ frac {1} {9} (10 ^ k – 1) [/ matemáticas].

Para obtener el número más bajo, tenemos que acortar el número tanto como sea posible, mientras desplazamos los dígitos hacia la derecha para reducir los valores de posición. Esto es un poco más complejo, pero no mucho. Escribimos tantos 9 como sea necesario, y luego el dígito restante.

Por ejemplo, el número más bajo con suma de dígitos 60 es 6999999.

Para k general, este número es

[matemáticas] \ displaystyle 10 ^ {\ lfloor k / 9 \ rfloor} (k \ bmod 9) + \ sum_ {i = 0} ^ {\ lfloor k / 9 \ rfloor – 1} 9 \ times 10 ^ {i} [/matemáticas]

Tenga en cuenta que si k es exactamente un múltiplo de 9, entonces el primer término es cero, según lo deseado.

El segundo término es una serie geométrica para que podamos reescribirla como lo hicimos anteriormente, obteniendo

[matemáticas] \ displaystyle 10 ^ {\ lfloor k / 9 \ rfloor} (k \ bmod 9) + 10 ^ {\ lfloor k / 9 \ rfloor} – 1 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = 10 ^ {\ lfloor k / 9 \ rfloor} (k \ bmod 9 + 1) – 1 [/ math]

Verifique: para [matemáticas] k = 60 [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] 10 ^ {6} (6 + 1) – 1 = 6999999 [/ matemáticas].

Answer 2

El número más grande suponiendo que cero no está permitido es fácil, será solo 11111 .. k veces. El número no negativo más pequeño es el escape con 9 hasta que ya no es posible, y luego el resto, y luego revierte todo.

Ejemplo

(a): K = 15

Número más grande (sin cero): 111,111,111,111,111

Número más pequeño (no negativo): 69

(b) K = 22

Número más grande (sin cero): 1,111,111,111,111,111,111,111

Número más pequeño (no negativo): 499

Ecuación

si realmente necesitas:

[matemáticas] \ text {Mayor} (k) = \ frac {10 ^ k – 1} {9} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Cociente, q} = \ left \ lfloor k / 9 \ right \ rfloor [/ math]

[matemáticas] \ text {Recordatorio, r} = k – 9q [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Más pequeño} (k) = (r + 1) 10 ^ {q} – 1 [/ matemáticas]

Answer 3

La fórmula general es:

el número máximo sería infinito, ya que puede agregar tantos ceros como desee sin afectar la suma de dígitos.

Si para un caso específico suponemos que no se permite cero, nuestro objetivo sería tener un número máximo de dígitos. Entonces el número máximo es = 111111… .k veces.

Del mismo modo, para un número mínimo, nuestro enfoque sería utilizar el menor número de dígitos. Entonces repetidamente menos de k, 9 tantas veces como sea posible y al final tomamos el dígito restante y los ordenamos en orden ascendente para finalmente obtener el número. Por ejemplo, si k = 35, entonces obtenemos,

35 = 9 + 9 + 9 + 8

entonces el número más bajo = 8999.