¿Por qué, en algunos casos, las expansiones decimales de fracciones regulares producen cadenas repetitivas de dígitos (por ejemplo, 1/35 = 0,0285714285714286, 2/35 = 0,0571428571428571, 3/35 = 0,0857142857142857), mientras que en otros casos, parece no haber ningún patrón en absoluto?

Answer 1

SIEMPRE hay cadenas repetitivas de dígitos. Algunos de ellos tardan tanto en repetirse que renuncias a esperar.

Después de reducir su fracción a sus términos más bajos, elimine los factores que el denominador tiene en común con la base, lo que llevaré a “diez” aquí. Es decir, dado que los factores primos de “diez” son 2 y 5, divida el denominador por 2 hasta que ya no tenga un factor de 2, y de manera similar con 5. Estos se comen moviendo suficientes decimales a la derecha del punto decimal, y realmente no contribuyen a la parte recurrente.

Ahora se vuelve más complicado. Encuentre todos los enteros entre 0 y el denominador inclusive que tengan algún factor en común con el denominador, y cuente los enteros restantes en el rango.

La duración del período divide ese recuento. Mientras haya reducido la fracción correctamente a sus términos más bajos, solo verá un período de tiempo para una base determinada. Para diferentes bases, recuerde, es posible que deba eliminar diferentes factores del denominador (no 2 y 5), por lo que el conteo puede cambiar.

Ir más allá de esto se vuelve más difícil rápidamente. Por ejemplo, el período no puede tener esta longitud (igual al recuento) a menos que el denominador tenga una “raíz primitiva”, que solo ocurre si es 2, 4, o una potencia de un primo impar, o dos veces una potencia de un primo extraño, e incluso entonces necesitamos 10 para ser una raíz primitiva, que a menudo no será.

Resultado simple: el comportamiento en detalle es difícil de predecir, pero puede obtener períodos muy largos, sin una relación obvia inmediata con el denominador.

Para sus ejemplos con el denominador 35, elimine el factor de 5 y quedará con 7. Esto es primo, por lo que entre 0 y 7 los únicos enteros con factores comunes con 7 son 0 y 7. Eso deja un recuento de 6 restantes enteros en el rango, a saber, de 1 a 6 inclusive. Debido a que 7 es una potencia de un primo impar – es [matemática] 7 ^ 1 [/ matemática] – un período de 6 podría ser posible, y en realidad sucede, aquí mismo, para la base 10.

Answer 2

Las representaciones decimales de fracciones siempre tienen una cadena repetida de dígitos.

Aquí hay una prueba de que cada decimal repetitivo es racional, es decir, se puede expresar como una fracción:

Para ver que cada fracción debe contener una cadena repetitiva en su expresión decimal, observe que todas las expansiones decimales que no tienen cadenas repetidas de dígitos, o como usted dice, “no parece haber ningún patrón”, son, por definición , números irracionales, por lo tanto, esos no pueden expresarse como fracciones.

Answer 3

Si y solo si un número tiene una expansión que se repite o termina (en cualquier base), ese número es racional (esto incluye los enteros como un subconjunto).

Si, para un número dado n coprimo a 10, toma potencias sucesivas de 10 mod n , entonces existirá algún número positivo k tal que [matemática] 10 ^ k \ equiv {} 1 {} \ mod {} n [/ matemáticas]. Esto se conoce como el orden multiplicativo de 10 mod n . si toma el recíproco de n , entonces su expansión decimal tendrá un ciclo de longitud k . Si n es primo yk = n – 1, entonces decimos que 10 es un modo raíz primitivo ny n es un primo de repuesta completa , lo que significa que su recíproco tiene la expansión decimal de longitud máxima. Si este ciclo se escribe como un número decimal, será un número cíclico, en el que los sucesivos múltiplos del número equivalen a rotar sus dígitos. El primer primo completo de repetición es 7. 1/7 = 0.142857142857 … y los múltiplos sucesivos de 142857 son 285714, 428571, 571428, 714285 y 857142. La secuencia de primos de repetición completa comienza 7, 17, 19, 23, 29, …

Si n no es coprimo a 10, entonces la expansión decimal terminará (alguna potencia de 10 es divisible por n ) o se establecerá en un período igual al orden multiplicativo de 10 mod n / mcd (10, n ). Por lo tanto, la expansión decimal de 1/35 tiene un período de 6, ya que el orden multiplicativo de 10 mod 35 / mcd (10, 35) es el orden multiplicativo de 10 mod 7, que es 6 como se ve arriba.